a' köc' nkgvszkgítésérűi.. 169 



vagy az egyenlet' mindenik részét y° - el elosztván 's a' sokszorozókat 

 párosan összevévén : 



tehát, ha x-nek előbbi értékét visszaállítjuk, 



--+-^-=('-:-;)('-i^)o-,y 



2.3 ' 2.3.4.5 



s innen sin x=x(l-^)(l-^,)(l-g^).... 



mellyből, tévén x = — , lesz.- 



ni 3 3 5 5 7 



1 = - . - . - . - . - . - . -.... 



2 2 2 4 4 6 6 



honnan következik : 



« 2.2.4.4.6.6. 8.8 ., . 2.2.4.4.6.6.8.8 . , 



vagy JT = 2. 



2 1.3.3.5.5.7.7.'j... ""^ ' '1.3.3.5.5.7.7.9... 



2M^2^2^2^3^2^4^2^5^2^6^ . . 



's ebbül ^ = 2. =^ 



1. 3. 3. 5. 5. 7. 7. 9. 9.11.11.13.. 



Már vaiamelly töredék egyedül akkor tehet egészet, ha számlálója ugyan 

 azon elo'számokból (numerus primarius) áll , mint nevezője ; ezen töre- 

 dékben pedig, akárhány tagot vegyünk, a' nevező nagyobb előszámo- 

 kat foglal magában , mint a' számláló , tehát n egész szám nem lehet. 



De véges töredék sem lehet. Látszik ugyan, mintha az ív és fél- 

 hurja vagy érintője összemérhető lehetne a' sugárral, mind a' mellett, hogy 

 az ivet ennek félhurja vagy érintője által kifejező soroknak nincs végtagja, 

 mert a' legegyszerüebb kifejezésre vett köztöredék is, mellynek számlálója, 

 és nevezője egész szám , tizedesre változtatván , kivévén ha nevezője csak 

 2 és 5 sokszorozókból áll, végetlen sort képez. Azonban a' folyó töredé- 

 kekről szóló tanítás e' kétséget teljesen eloszlatja. Ha két egész szám' 

 hányadosa folyó töredékre változtatik, ez végre abban szakad, mert az egy- 

 mást követő elosztások' mindegyre kisebbülő maradéka végre egység lesz, 



mi által a' következő elosztásból semmi sem marad. Már pedig ha 

 111111 



" T J~^J T "9 íT 



sort folyó töredékre változtatjuk, lesz: 



7t = 1/1 -4- 1/2 -t- 9/2 -f- 25/2 -K 49/2 



inelly töredék soha abba nem szakad. Tehát --r szükségkép összemérhetetlen. 



22 



