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r x^" _ r dx . x^" 



J (l + x^)"+» ~-J (x-i)"+' ' (x-i)"+^ 

 Die Variable x wird rechtläufig um i herum geführt. 

 Um die Formel (I) anwenden zu können, setzen 

 wir F(x) = x2" (x+i)-^"+'> = {— i)"''' x^» (1— ix)-("-'>, 

 oder wenn wir nach dem binomischen Lehrsatz ent- 

 wickeln : 

 F(x) = (-i)"+' x2" (l-(n+l) (-ix) 4- ("+^)("^+^) (_ix)* 



(n + 1) (n-f-2)(n4 3) 



1 . 2 . 3 V 1'^; -t- . • •; 



_(_i)u+i j x2" - (n+l) (-ix) x2"+ (^ + '^Kn^^- g) (_ix)2 x"^» 



(n4-l) (n + 2) (n + :^>) . .3 ^2„ . / 



1.2.3 ^"'""^ "" ^"\ 



Nun können wir leicht n-mal difFerentiren, und 

 nach der Differentiation 2n . (2n'-l). . . (n+l) x" als 

 gemeinschaftlichen Faktor absondern. 



F"(x) = (-i)"+»2n.(2n— l)...(n+l)x" l_(2n+l) (-ix) 



(2n4-l) (2n + 2) (2n^-l)(2n + 2)(2n^3) \ 



+ Y72 ^~'^^ 1.2.3 ^''^^ "^-^ 



Der in der Klammer befindliche Ausdruck ist offenbar 



(l-ix)-^2"+i> ; daher 



F"(x) = (— i)"+^ . 2n . (2n— 1)... (n + l) x" (1— ix)-(2"+n 



und wenn wir x durch i ersetzen : 



F"(i) = (— i) 2-(2"+i) . 2n . (2n— 1) . . . (n+l). 



Setzen wir diesen Werth in (I) ein, so bekommen 



2.T . 2n . (2n— 1) . . . (n-4-1) 

 wir 2 K= "liT^^n 



n! n! 2" 2 



— 1-2.3 .4.5.. 2n ji_ 



~ 2 . 4 . 6 . . . 2n . 2 . 4 . 6 . . . 2n * 2 



