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Lehre von den algebraischen Gleichungen mitzutheilen, 

 der nicht an dieser Unvollständigkeit leidet und ausserdem 

 den Vorzug hat, sich auf den allerelementarsten Grund- 

 lagen aufzubauen und mit den nöthigen Modifikationen 

 auch auf transzendente Gleichungen anwenden zu lassen. 



Es sei X ^=: p -\- q i eine komplexe Zahl, in der p 

 und q reelle Grössen bedeuten und i = y — 1 ist. Nimmt 

 man auf einer Ebene ein festes Achsensystem XOY an und 

 trägt /; als Abszisse, q als Ordinate auf, so ist der so 

 bestimmte Punkt ?n der Ebene der Repräsentant von x. 

 Die Gerade, welche diesen Punkt mit dem Nullpunkt 

 der Koordinaten verbindet, habe die Länge r und bilde 

 mit der Achse OX den in der positiven Drehungsrichtung 

 gemessenen Winkel a; dann kann man auch setzen 



^ = r (cos cc -{- i sin a), 

 wobei r und u die Polarkoordinaten von m sind, und zwar 

 r der Radius, a das Argument. 



Lässt man p und q alle möglichen Werthe von — oo 

 bis 4- o<5 annehmen, so durchläuft x das ganze Gebiet 

 der komplexen Zahlen und die repräsentirenden Punkte 

 în füllen die ganze Ebene (Zahlenebene) aus. Das Näm- 

 liche wird dadurch erreicht, dass man dem Radius r alle 

 Werthe von bis co und dem Argument a diejenigen von 

 bis 2;T gibt. 



Es bezeichne F (^x) eine algebraische ganze rationale 

 Funktion der komplexen Veränderlichen x, so kann man 

 sie ebensowohl als Funktion der beiden unabhängigen 

 Veränderlichen p und ^, wie als solche von r und cc auf- 

 fassen. Sie lässt sich ferner in die Form P -\- Q i = 

 R (cos A + i sin À) bringen, wobei 1\ Q, R und A stetige 

 reelle Funktionen von r und cc sind. Der Punkt M sei 

 Repräsentant der Funktion für denjenigen Werth von x^ 

 dessen Repräsentant der Punkt m ist. Er hat die recht- 



