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Funktion und werde durch den Punkt M repräsentirt. 

 Addirt man zu ihr die konstante Zahl a -{• bi, so wird 

 die Summe gleich 



/■, (^) = (? + «)-!-((? + /»} i. 



Die Koordinaten jedes die Funktion /'i (a-) repräsen- 

 tirenden Punktes M, sind bezüglich um a und h grösser als 

 die des entsprechenden Punktes M. Sämmtliche Punkte 

 M sind demnach in gleicher Richtung und um einen 

 gleichen Betrag verschoben worden, so dass sich in ihrer 

 gegenseitigen Anordnung nichts geändert hat und die 

 repräsentirenden Linien in unveränderter Gestalt, wenn 

 auch in anderer Lage, die Zahlenebene bedecken, w. z. z. w. 



Satz II. Das Produkt aus einer unbegrenz- 

 ten Funktion und ihrer Veränderlichen ist 

 selbst eine unbegrenzte Funktion. 



Beweis. Es sei wieder x = r (cos a -\- i sin a) 

 die Veränderliche und f (x) = R (cos A -{- i s'm Ä) eine 

 unbegrenzte Funktion derselben, so ist ihr Produkt 



X . f (x) = rR (cos [^ + ß] + i sin \_A + «]). 



Lässt man in dem letzten Ausdruck zunächst den 

 Radius r konstant und variirt dann a stetig von bis 27r, 

 so wird nach der Voraussetzung das Argument A für « 

 =z und a =^ 2n den nämlichen Werth Aq oder allge- 

 meiner Ad -\- 2g7i haben , unter g eine ganze positive Zahl 

 verstanden. Wie daher auch im üebrigen der Gang des 

 Argumentes A beschaffen sein mag, so wird die Summe 

 A-i~ a für « := von dem Anfangswerth Aq ausgehen und 

 in stetigem Verlaufe, entweder beständig zunehmend oder 

 stellenweise abnehmend, mit dem Endwerthe Ao 4- 2fc 

 oder allgemeiner Aq + 2gT€ + 27i schliessen, also jeden- 

 falls einen vollen Umlauf machen. Da nun auch der 

 Radius rR eine stetige Funktion von a ist , so folgt 

 hieraus , dass die Linie , welche der die Funktion 

 X , f {x) für den angenommenen Werth von r reprä- 



