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sentirendc Punkt beschreibt, um den Anfangspunkt O 

 des Achsensystems herumgeht und in sich selbst zurück- 

 kehrt. Ferner sind beide, sowohl der Radius rR als das 

 Argument Ä -\- cc nach der Voraussetzung stetige Funk- 

 tionen von r und der crsterc nimmt bei stetigem Variiren 

 von r vom Anfangswerth an bis zum Endwerth oo, 

 ebenfalls stetig alle Werthe von bis oo an, was auch 

 sonst sein Verlauf sein mag , da R für unendliche 

 Werthe von r nicht Null wird. Die repräsentirenden 

 Linien schliessen sich demnach um den Anfangspunkt 

 herum kontinuirlich an einander an und bedecken die 

 ganze Zahlenebene, w. z. z. w. 



Es ist nicht überflüssig, zu bemerken, dass der Ra- 

 dius /?, wenn auch nicht für unendlich grosse, so doch für 

 endliche Werthe von r ein- oder mehrmals verschwinden 

 kann, wenn nämlich eine oder mehrere der die Funktion 

 f (-2^) repräsentirenden Linien durch den Nullpunkt O 

 gehen. Ein solcher Durchgang komme überhaupt k mal 

 vor, sei es dadurch, dass k verschiedene Linien oder dass 

 einzelne von ihnen mehrmals diese Eigenschaft haben. 

 Alsdann wird der Radius R für k Werthepaare von r 

 und a gleich Null, welche gleich oder ungleich sein 

 können (im ersten Fall weisen die repräsentirenden Linien 

 in O einen Rückkehrpunkt auf). Der Radius rR der 

 Funktion x . f (x) wdrd nun ein Mal mehr verschwänden, 

 nämlich ausser für jene noch für r = 0. Wenn daher 

 die Gleichung / {cc) ==0 k komplexe Wurzeln hat, so 

 hat die Gleichung x . f(a:) = Ä + 1 solche. Geometrisch 

 wird dies dadurch dargestellt, dass die repräsentirenden 

 Linien von a: . f{x), w^enn diejenigen von f {x) k mal durch 

 den Nullpunkt O gehen, k -{- 1 mal denselben passiren. 



Satz III, Eine algebraische ganze rationale 

 Funktion einer komplexen Veränderlichen ist 

 •edes komplexen Werthes fähig. 



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