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Beweis. Die Grössen «j, r/2, . . . fln-i, On mögen be- 

 liebige komplexe Konstanten bedeuten, œ eine komplexe 

 Veränderliche, so sind folgende Funktionen unbegrenzt 

 in dem angenommenen Sinne, und zwar abwechselnd zu- 

 folge Satz I und II: 



und so weiter bis 



a;^ 4- öl a^"-* 4- «2 ^""^ 4- • • . 4- ön-i cc 4- ön 

 und können daher jeden gegebenen Werth annehmen, 

 w. z. z. w. 



Aus dem letzten Satz folgt jetzt unmittelbar, dass 

 eine algebraische ganze rationale Funktion für minde- 

 stens einen komplexen Werth der Veränderlichen Null 

 wird oder dass eine algebraische Gleichung mindestens 

 eine komplexe Wurzel hat. 



Man ist nun leicht im Stande nachzuw^eisen , dass 

 eine algebraische Gleichung des n ten Grades n komplexe 

 Wurzeln haben muss; vj'ie folgt. 



Satz IV, Wenn eine algebraische ganze ra- 

 tionale Funktion des nten Grades ohne kon- 

 stantes Glied für n W e r th e der komplexen 

 Veränderlichen Null wûrd, so gilt dies auch 

 für eine solche Funktion mit konstantem Glie d. 



B e w^ e i s. Es wird behauptet : wenn eine ganze 

 rationale Funktion vom ?i ten Grad, in w^elcher kein kon- 

 stantes Glied vorkommt, für n Werthe der Veränderlichen 

 verschwindet, so gibt es ebenfalls n Werthe von^r, welche 

 die Funktion 



F (ip) = a;" 4- öl ^"-^ 4- «2 ^""^ 4- ... 4- ön-i ^ 4- ön , 

 die das konstante Glied an enthält, gleich Null machen. 

 In der That, es ist im vorigen Satz bewiesen w^orden, dass 

 sich immer ein solcher Werth w von œ finden lässt, dass 



