74 Mathematik, Astronomie, Mechanik. 



dieser Verstandesthätigkeiten eine andere gegebene Folge derselben ersetzt, dergestalt, dass die 

 eine Folge der andern substituii't werden kann. — Ein sogenannter Ausdruck ist nämlich nichts 



weiter, als eine angezeigte bestimmte Folge jener Denkgeschäfte (Operationen) Alles »Eechnen« 



zeigt sich hiernach als ein Geschäft des Umformens gegebener Ausdrücke, d. h. als eine fort- 

 laufende Substitution neuer Folgen jener Verstandesthätigkeiten an die SteUe der vorhandenen 

 Folgen derselben. Danach ist also ein allgemeines Eechnen mit Grössen, Avie mit Zahlen 

 gleich unmöglich, sondern alles allgemeine Eechnen findet nur mit Ausdrücken statt, in denen 

 die Operationszeichen das Wesen bilden, alle übrige Zeichen aber (mögen es Buchstaben oder 

 Ziöem oder beliebige andere Zeichen sein) nur die völlig inhaltlos gedachten Träger dieser 

 Operationszeichen sind. 



Aber eben weU bei dem »Eechnen« diese Träger der Operationszeichen keine specielle Be- 

 deutimg zu haben brauchen, so folgt einerseits, dass man mit unbekannten Ausdrücken, in 

 sofern sie etwa dm-ch einen Buchstaben (der nun ein solcher Träger der Operationszeichen wird) 

 vorgestellt sind, eben so gut »rechnen« kann, wie mit bekannten, wälurend auf der andern Seite 

 in dem allgemeinen Ausdruck wieder jede Besonderheit gedacht werden kann und muss, in so 

 weit solche die Träger der Operationszeichen angeht. So hegt in der allgemeinen Differenz 

 a — b, der besondere Fall b — b, den wii- Null nennen vmd durch bezeichnen, und nur dieses 

 Wesen der Null ist es, welches sie später (in den Anwendungen aivf die Gestaltimg des Zif- 

 femrechnens) zu dem Stellvertreten befähigt, in welchem wir sie gewöhnlich bei dem mechani- 

 schen Einlernen des gemeinen (d. h. des Ziffern-) Eechnens beschäftigt erbhcken. Aber eben so he- 

 gen in den allgemeinen Formen a-}-b, a — b, auch die besondem Fälle o-j-b, o — b, die vrir ge- 

 wöhnlich bloss -j-b imd — b schreiben; und nur in diesem Wesen der Fonnen -f-b imd — -b 

 liegt die Nothwendigkeit der in der sogenannten Buchstabenrechnung befolgten Eegeln, nach 

 denen mit solchen Fcvrmen (-|-q und — q) gerechnet wird. Wären -|-q imd — q Grössen, 

 und sogenannte entgegengesetzte Grössen, so hörte alles »Eechnen« mit ihnen augenbhck- 

 lich auf, da jedes »Eechnen« mit Grössen ein Widersprach in adjecto ist, der in allen Konse- 

 quenzen immer wieder auftaucht. In den allgemeinen Formen -}-q imd — q, in denen q ganz 

 inhaldos gedacht ist und die man additive und subtraktive Ausdrücke nennen kann, 

 stecken dann auch die besonderen Fälle, in denen unter q eine wirkliche (ganze) Zahl oder ein 



Quotient ^solcher (ganzen) Zahlen (den man gebrochene Zahl nennt) verstanden wird; man 

 nennt dann -|-q und — q vne +1- und — j-positive und negative (ganze oder gebrochene) 



Zahlen. — Die Eegeln, nach denen mit den Formen -j- q und — q im Allgemeinen gerechnet wer- 

 den kann, bleiben nun natürlich dieselben. Und zugleich ist nebenbei mit angedeutet, wie wir 



das Wesen der gebrochenen Zahl nur in der allgemeiaen Form r-- (des Quotienten) erblicken 



können, in dem besonderen Falle gedacht, wo a imd b nicht mehr inhaltlos sind, sondern wirkliche (ganze) 



Zahlen vorstellen, unter der Voraussetzung, dass -j- selbst keiner wirklichen (ganzen) Zahl gleich 



