iyft Mathematik, Astronomie, Mechanik. 



Elementen der Analysis ausgesprochenen Denkgesetzen, kann der divii 

 traktive Form o (d. h. 1 — 1 oder b — b) nie substituirt werden. Wenn daher Cauchy die Funk- 

 tion e ''" »' nach dem Maclaiirin' sahen Lehrsatze in eine nach ganzen Potenzen von x fort- 

 laufende Keihe verwandeb will, nach der Ausführung aber bloss die Entwicklung von e ^* 



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hat, 80 dass ihm der Faktor e i» während der Entwiekelimg abhanden gekommen ist, so ist 

 dieses Paradoxon keineswegs wie Cauchy meint, dem Umstände zuzuschreiben, dass die Maclait- 

 nWsche Eeihe jedesmal konvergent seyn müsse (diese auch in Deutschland verbreitete Ansicht 



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ist mit aller Energie zurückzuweisen), sondern weil er fiü- x=:o die Funktion e »^ in e o , 



dann in e — ^ > dann in -^ , hierauf in — und zuletzt in o übergehen lässt, welches Verfahren 

 die richtig aufgefasste aUgemeine Theorie des Kalküls als zulässig nicht anerkennen kann. — 

 Der specielle Kalkül hat die Fälle nachzuweisen, in denen —=0, oder - zr 00 gesetzt werden 

 darf, imd nm- in diesen sehr beschränkten Fällen darf es geschehen. 



Ist man so weit in das specielle Kechnen hinein gerathen, dass man bereits bestimmte An- 

 wendungen zur Vergleichung der Grössen im Auge hat, (in so ferne die Mögüchkeit vorher nach- 

 gewiesen ist, dass eine Grösse durch eine positive ganze oder gebrochene benannte Zahl aus- 

 gedrückt werden kann, und dass die Grösse desto kleiner ist, je kleiner diese positive Zahl, dies 

 letztere Wort »kleiner« in dem oben hervorgehobenen formellen Sinne genommen), da ist es 

 erlaubt, das unendlich kleine Reelle gegen das endliche Reelle wegzulassen, sobald solches in der 

 Lehre vom UnendUchkleinen erwiesen ist; man setzt also bloss a statt ;i-|-k, wenn k unend- 

 lich klein, a aber endlich und nicht Null ist. 



Hier war nun der Vortragende bei seinem eigentlichen Gegenstand angelangt, nämlich zu 

 der Frage: Kann man, wenn k unendlich klein, a aber endlich imd nicht Null ist, in denjenigen 

 Untersuchungen, in denen a bloss statt a-|-k gesetzt werden darf, 



1) auch bloss a statt a -f- k.V — 1 



2) und bloss a . V^^ statt k ■}- a.VZ^ 



setzen, oder mit Worten: darf man dasimendhch kleine imaginäre k . V — 1 gegen das reelle 

 endliche a, imd darf man das reelle unendlich kleine k gegen das imaginäre endliche 

 * • V — r ausser Acht lassen? — Beide Fragen vrarden imbedingt bejaht, u»d die Bejahung 

 ohngefdhr so motivirt : 



Jede solche (nicht mehr allgemeine, sondern Zahlen-) Gleichung hat auf jeder Seite des 

 Gleichheitszeichens einen Ausdruck, und jeder dieser Ausdrücke stellt (dem ganz allgemeinen 

 Begriff der Gleichung zu Folge, in diesem besondern Falle) eine und dieselbe Zahl von der 

 Form p -j- q.V — 1 vor, wo p vmd q reell sind, (während q auch Niül, die Zahl p + q • ^ — 1 

 also auch reell seyn kann). Jeder dieser beiden gleichen Ausdrücke muss nun in die Form 

 j -j- q. V — 1 umgeformt werden können, so dass p und q sowohl von a wie von k ablüngen. 



