M Mathematik, Astronomie, Mechanik. 



n ganz und positiv imd unendl^ch-gross gedacht wird, und wenn mau statt x selbst nach 

 und nach aUe die Werthe a, a-j-dx, a-j-2dx, a -j- 3 dx, . . . a -j- (n — l).dx oder b — dx 

 setzt. — Bei diesem Begriff des numerisch-bestimmten Integrals sind die Grenzen a und 

 b nicht mehr inhaltlos, d. h. nicht mehr als blosse Träger der Operationszeiehen gedacht, son- 

 dern entweder reell oder imaginär imd von der Form p -}- q • ^ — 1- — Sind a und b reell, so 

 ist der Faktor dx des Produkts f. dx positiv oder negativ gedacht, je nachdem b>a oder b<a 

 vorausgesetzt wird. Sind aber die Grenzen imaginär (entweder beide, oder doch eine derselben), ist 



z. B. b = p-|-q. V—1 und a = « -|- /S . K— 1. so ist der Faktor dxQzz^~" -j- 1~".v_l^ 

 ebenfalls imaginär, dabei aber sowohl " als auch- — — unendlich klein. 



Es lässt sich nun leicht und auf ziemlich bekannten Wegen beweisen, dass das numerisch- 

 bestimmte Integral / f. dx, im Falle solches existirt (also wenn f innerhalb derGrenzen 



die Form - nicht annimmt) dem allgemein-bestimmten Integral / i . dx (welches in 



einer allgemeinen Form, sei es auch einer unendlichen Reihe allemal existirt) gleich ist, während 

 man im letzteren die allgemeine Rechnungsform hat, mit welcher nach bestimmten Gesetzen ge- 

 rechnet werden kann und könnte, auch wenn a und b weder reell noch imaginär wären, sondern 

 ganz inhaltlos gedacht würden. — 



Es wurde dabei schlüsslich noch darauf aufmerksam gemacht , dass zwischen diesen beiden 

 verschiedenen Begriffen des bestimmten Integrals in mancher Beziehung ein analoges Verhältnißs 

 bestehe, wie zwischen einer [allgemeinen, nach ganzen Potenzen vou x fortlaufenden Reihe 

 a-|-bx-|-cx2-}-dxä-j-ex*-f-..., (in welcher x weder reell noch imaginär, sondern 

 ganz allgemein, d. h. inhaWos, als blosser Träger der Operationszeichen gedacht wird, und mit 

 welcher man nun nach bestimmten Gesetzen rechnen kann, ohne fürchten zu müssen deshalb auf 

 Widersprüche zu stossen, obgleich diese Reihe mm weder konvergent, noch divergent ist) — also 

 zwischen einer solchen allgemeinen imendüchen Reihe und einer numerischen, wo dem 

 X ein bestimmter Ziffernwerth beigelegt gedacht wird. Diese letztere (numerische) Reihe, 

 wenn sie einen Werth hat, (d. h. wenn sie konvergirt) ist der allgemeinen Reihe und 

 also auch dem allgemeinen Ausdnick in endlicher Form gleich, welcher nach den Gesetzen der 

 oben en\'ähnten Verstandesthätigkeiten , wiederum der aUgemeinen Reihe gleich ist. Hat aber 

 die numerische Reihe überhaupt keinen Werth (d. h. ist sie divergent), so ist von ihr im Kal- 

 kül auch nicht weiter die Rede: und gerade dasselbe gut \vieder vom numerisch-bestimmten 



von dem auch nicht weiter die R«de sein kann, sobald es keinen Werth hat, 



Integral / i 



während das analoge allgemein -bestimmte Integi-al / f . <l x in jedem und also auch 



in diesem Falle immer ein besthnmter, im Kalkiü noch femer brauchbarer Rechnungs-Ausdi-uck 

 ist. — Auch iu dieser Beziehung wurde auf die oben erwähnte Abhandlung verwiesen , aus wel- 



