Darauf hielt Herr Prof. Scherk einen Vortrag, aus welchem folgender 

 Auszug mitgetheilt ward : 



Ueber zwei Verallgemeinerungen des Wilson'schen Lehrsatzes. 



I. Der WDson'sche Satz lehrt bekanntlich, dass für jede Primzahl p 



1. 2. 3 (p — 1) ::^ — 1 (mod. p) 



sei. Dieser Satz bietet zwar theoretisch ein directes, aber, wegen der im- 

 mensen Grösse, welche das Product 1. 2. 3... (p — 1) für einen einigeimaassen 

 grossen Werth von n bald erreicht, practisch unausführbares Mittel dar, zu 

 prüfen, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl sei, oder nicht. Könnte man 

 diesem Producte andere substituiren, deren Zahlenwerthe kleiner wären, und 

 wäre dann noch der zweite Theil der Congi-uenz eben so einfach, als im 

 Wilson'schen Satze, so wären diese Zahlenwerthe offenbar geeigneter für die 

 genannte Untersuchung. Man -würde aber kleinere Zahlenwerthe erhalten, wenn 

 man nicht das Product der Zahlen bis zu p — 1, sondern bloss bis zu p — 2, 

 bis zu p — 3 etc., zu nehmen brauchte ; und so verdient die Frage : Welcher 

 Zahl ist, wenn p eine beliebige ungrade Primzahl, und n eine beliebige ganze 

 Zahl ist, das Product 1. 2. 3... (p — n — 1) nach dem Modus p congruent? 

 auf jeden Fall eine Untersuchung. 



Für die ersten Werthe von n ist die Untersuchung sehr leicht. 



Setzt man nämlich 



S = 1. 2. 3 ... (p - 2) — I 

 so ist 



(p — 1) S = I. 2. 3. . . . (p — 1) — p + 1 ^ — l — p 4- 1 ^ (mod. p.) 

 und folglich, da p — 1 nicht ^ sein kann, 



S ^ 0, 

 das heisst: I. 2. 3. . . . (p — 2) ^ 1. 



Es sei auf gleiche Weise 



R = I. 2. 3. ... (p - 3) - (P-^) 



(S^)p + P-'=o 



