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wo X noch durch die Congruenz rx ^ I. (mod. Iln) zu bestimmen ist. Nun ist aber bekannt- 

 lich ( Gauss, disqu. arith. § 83 ) der Exponent q die niedrigste Potenz von r, welche nach dem 

 Modul Dn der Einheit congruent ist = q, oder ein aliquoter Theil von q. Bezeichnet man 

 also diesen Exponenten durch v, so hat man 



r' HS 1 

 Setzt man daher x ^e^ r ' ~ (mod. Dn) 



so wird r ' ^^ 1 wie gehörig, 



und folglich l. ■->. 3.... (p— n— I) = ( — !)•» ( r^~ p-1 | (mod. p.). 



V nn / 



Dass diese Auflösung nicht so einfach geworden ist, als man sie hätte wünschen können, 

 liegt in der Natur der Sache, und war auch nicht zu erwarten. Aber es ist ein Anfang, auf 

 welchem sich fortbauen lässt. 



n. Eine andere Abänderung, die sich gleichfalls darauf bezieht, dass 

 nicht das Product aller Zahlen, die kleiner als p sind, gebildet wird, lässt 

 sich auf folgendem Wege erhalten. 



Zerlegt man den Bruch 



P (1— (a+b)x) (l— (a + 2b)x)... (I_(a4-kb)x) 



auf bekannte Weise in Partialbrüche, so erhält man leicht 



(_l)k-l fak-l n^i,_i) _ (a^b)*^-' _ pi (a+2b)'^-' Pk -i(a+3b)k-l _ 



P 1— {a+b)x ^ ' l-(a-t-2b)x ~r I— (a+3b)x 



, k_l ( a+kb)k-l 

 l-(a+kb)x 

 wobei P^ . V? I etc. den Isten, 2ten... Binomialcoeffieienten der(k — l)ten Potenz anzeigt. 



Entwickelt man auf beiden Seiten dieser Gleichung nach aufsteigenden Potenzen von x, vergleicht 

 die Coeiricienten der gleichen Potenzen, und setzt dann a :^ — b, so erhält man leicht 



n(p_r-lj C =(p_r_l)P-l-P' _,(p-r-2) P-'+P ^^_.2(p-r-3)I'-'... 

 p— r— 1 



p-1 



(— 1) P' 1 



••' '■' p— r— I 



Hierin ist C die Summe der Combinationen zur rien Classe mit Wiederholungen aus den 



p-r-1 

 Grössen I, 2, . . . p— r— l. 



Nun sei p eine Primzahl, so tst a^ — l durch p theilbar, wenn a es nicht ist; ist 

 also < p — r — ] <; p, das heisst : r irgend eine ganze positive Zahl < p — l , so hat man 



