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(-1) ,n Y 2m | <p M (b) - cp 2m _ x (a) | v* 



r= co 



+ 2 (- M+I (s) 2 H a ^ m (x) Cos &■*(— )dx, (I) 



r= 1 

 wo folgende- Abkürzungen bestehen: 



Y2r== rÄr^{ 1+ ^+3^+^ + ininf - L (1) 



b-a = nv, (2) 



und wo endlich y k (x) den k ten Differenzialquotienten von 

 <p(x) nach x vorstellt. 



Die Reihe von Gliedern nun, die die Coefßcienten 

 Y2» Y4# Y(, f Y%, . . . . mitführen, nenne ich die ver- 

 allgemeinerte Stirlingische Reihe, die zur Angabe der 

 innerhalb den Klammern auf der ersten und zweiten Zeile 

 rechts vom Gleichheitszeichen befindlichen Summe be- 

 nutzt werden kann, wovon in der gegenwärtigen Mitthei- 

 lung einige Anwendungen vorgeführt werden sollen. 



2. Als erste Anwendung unterziehe ich den Fall , 

 wenn <jp(x) irgend eine ganze, positive Potenz von x ist. 

 Wird diese Potenz einmal als gerade der Form 2m und 

 ein andermal als ungerade der Form 2m + 1 angenom- 

 men, wo in ganz und positiv, bei der letztem Annahme 

 auch der Null gleich sein kann; dann bietet die allgemeine 

 Gleichung (I) vollkommen genau die folgenden zwei Er- 

 gebnisse dar : 



j a x2" , dx = v 2n, + l [ I 2 " 1 + i* m + 32™ + ... (n— l)* m + |n 2 ' n j 



— 2m Y 2 a2 ü, -t v 2 + 2m (2m— 1) (2m-2) Y* a 2m " 3 v* 



- 2m (2m-l) (2m— 2) (2m-3) (2m— i) Y 6 a 2m " 5 v 6 



J" 



4- (-1 ) m 2m (-2m-1 ) (2m— 2) (2m— 3) ... 3. 2 Y 2m av 2 "', 

 1 



x 2m+ idx = v 2 " 1+2 1 1 2 ' 1,+ » + 2 2m+l + 32 n, +i 4- 42 n> +i 



+ .. .(n-1) 2m+ »+4n 2ni+, i 



