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Wir erhallen so den Satz v(3n d'Arrest: Ist eine Kugel ge- 

 geben, und beschreiben wir einen geraden Cylinder, dessen Basis in der 

 Aequatorebene ACß der Kugel der um den Radius AO dieses Aequa- 

 tors als Durchmesser beschriebene Kreis AKO ist und konstruieren 

 endlich die beiden Kugeln, die dem Cylinder eingeschrieben sind und 

 die zugleich die gegebene Kugel von aussen berühren, so sind die 

 Berührungspunkte F und F' jener beiden Kugeln mit der Kugel 

 die Brennpunkte der Vivianischen Kurve, die durch die Schnittlinie 

 des Cylinders mit der Kuqelfläche gebildet wird. 



Für die Mittelpunkte L und L' jener beiden Kugeln hat man 



HL 1 — 



J:=Ri/2 = AP. Die Punkte L und L' sind auch bestimmt als 

 Hli ) * 



Schnittpunkte der Cylinderaxe mit dem zum Kreise APB konzentrischen 



3 R 

 Kreise vom Radius — - — Wenn f und q die Berührungspunkte der 



Kugel L mit den in der Ebene APB liegenden Erzeugenden OP und 

 Aq des Cylinders, so liegen die Punkte A, F, f und B, F, q je in 

 einer Geraden. 



8. Für k = — 2 geht die Büschelfläche des § 4 in den recht- 

 winkligen Rotationskegel \^-\-y'^:^z^ über, dessen Spitze A und 

 dessen Axe die z Axe ist. Die Vivianische Kurve ist daher auch die 

 Schnittlinie einer Kugelfläche mit einem rechtwinkligen Rotationskegel, 

 dessen Spitze ein Punkt A der Kugel und dessen Axe eine Tangente 

 der Kugelfläche im Punkte A ist. 



Für X == R erhalten wir aus der Gleichung dieses Kegels die 

 stereographische Projektion der Vivianischen Kurve für den Pol A 

 z^ — y^ = R2. Diese Projektion ist also in der Meridianebene PGP' 

 der Kugel die rechtwinklige Hyperbel, die zu Scheiteln die Punkte P 

 und P' hat. Seien f und f die Brennpunkte dieser Hyperbel, so ist 



OD 4 D 



Of=R\/2. Anderseils MF-^i^AM.MB^ — -— ■ -^— ^ also 



o o 



MF = -?- R \l^. Somit MF = ^-01 Der Strahl AF trifft also OP 



im Brennpunkt f der Hyperbel. Nimmt man also com Punkte A der 

 Kugel aus die stereographische Projektion der Vivianischen Kurve, 

 so gehen die Brennpunkte F und F' dieser Kurve in die Brennpunkte 

 f und f der gleichseitigen Hyperbel über, welche jene stereographische 

 Projektion bildet. 



