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Sei AwB (Fig. i) ein beliebiger durch den Durchmesser AB 

 gehender Haupikreis der gegebenen Kugel, s ein auf demselben liegen- 

 der Punkt der Vivianischen Kurve, und seien u und v die stereogr. 

 Projektionen von s respektive von den Punkten A und B aus, so ist 



*'^' ^^ und -*^ = ^^- also Ou . Ov = R-. Wenn also 



OA As OB Bs 



(ii) die stereographische Projektion irgend einer sphärischen Kurve (s) 



von einem Punkte A der Kugel aus und wir transformieren (uj mittelst 



reciproker Radien in Bezug auf den Grosskreis der Kugel dessen 



sphärisches Centrum A ist, als Grundkreis, so erhalten wir die slereo- 



graphische Projektion (v) von (s) vom Diametral punkte B von A aus. 



Nun ist die Gleichung der Hyperbel z^ —f = ^^ in Polarkoordinalen 



r'^ (cos^2 — sin (p'^) = R-. Die in Bezug auf den konzentrischen Grund- 



^, cosc- — sin^^ 

 kreis von Radius R transformierte Gleichung ist r- = R*. ^^ 



U2 fy2 y2^ 



oder wieder in rechtwinkligen Koordinaten z'--{-y^ = ■> , ^,2 ' 



d.h. (z"^-|-y^)- = R-^(z2 — y'^). Die stereogniiihisclie Projektion der 

 Virianischen Kurve vom. Diametraljmnkte B von A ans ist also die 

 Lemniskate, deren Scheitel P und P' sind. Seien g und g' zwei 

 Punkte der z Axe in der Distanz + c vom Mittelpunkt 0, so hat 

 man für die Radien Vektoren o und q' , die von diesen Punkten nach 

 einem Punkte (z, y) der Kurve gehen, o" = y^ -f- (z — c)^ p'- = y'^-i- 

 (z 4- c)S also q' q''- = {1? + rf — 2 c2 {f - f) + z\ d. h. zufolge 

 der Kurvengleichung, o^^'^^ (R-— 2 0'^) (z-— y^) + c^ Wenn also 



c=^!L-, so kommt 00 =z^. Diese zwei festen Punkte g und g' 



\/2 

 auf der Hauptaxe PP' = 2R der Kurve, wo die von diesen Punkten 

 nach einem variabeln Punkte der Kurve gehenden Radien Vektoren 

 q und q ein konstantes Produkt bilden, sind die Brennpunkte der 

 Lemniskate. Die Distanz dieser Punkte vom Zentrum der Kurve 



ist also Og = -^- Nun war ü f = R \/Y, also f . g = R'. Die 



V 2 

 beiden Punkte f und g sind also einander in Bezug auf den Kreis 

 vom Durchmesser PP' harmonisch zugeordnet und somit sind g und 

 f die stereographischen Projektionen von den Diametralpunkten B 

 und A aus eines nämlichen Punktes F der Kugellläche. Oder da 



