G. Sidler. 



Die Sehale Vivianis. 



(Eingereicht Febr. 1901.) 



Die Aufgabe Vivianis, auf der Kugel ein quadrirbares FJächen- 

 stück zu begrenzen, lässt eine völlig elementare Behandlung zu. 



1. In jedem eingehendem Lehrbuche der Stereometrie finden 

 wir die Quadratur der sogen, hufförmigen Abschnitte des geraden 

 Kreiscylinders. Wir können daher den folgenden Satz als bekannt 

 voraussetzen: 



Sei AGB die halbkreisförmige Basis eines geraden Cylinders 

 (Fig. 1), so legen wir durch den Durchmesser A B derselben eine 

 Ebene A D B. die mit der Basis einen Winkel = 45" bilde. Dies 

 vorausgesetzt, ist der Flächeninhalt des von der Basis AGB und der 

 Schnittlinie A D B jener Ebene mit dem Gylindermantel begrenzten 

 Teiles des Gylindermantels = 2 H=^, wo R der Radius des Gylinders. 



In der That legen wir durch den höchsten Punkt D der Schnitt- 

 linie ADB parallel zur Basis die obere Grenzebene DGE des Cy- 

 linders, welche die Axe P in P schneide, so ist G D = G, also 

 OP = R. Eine durch die Axe gehende Ebene POlk, die mit der 

 Ebene P A E den Winkel l bilde, schneide nun die Gylinderfiäche in 

 der Erzeugenden Ik, und Ik treffe die Schnittlinie ADB im Punkte 

 S; ferner sei nh die Projektion von Ik auf die Ebene ABGE. End- 

 lich sei l'k' eine benachbarte Erzeugende des Gylinders und n'h' 

 deren Projektion. Nun ist 1 S = n 1 = R sin Z und somit Flächen- 

 element ll'SS' = ir.R sin l. 



Das Element 11' des Äquators bildet mit nn' den Winkel 90'^— ;i, 

 und daher ist nn' = 11'. sin l und Flächenelement nn' hh' ^=^ R . nn' 

 = ir.R sin l. 



Die Flächenelemente ll'SS' und nn'hh' sind also einander 

 gleich und somit Huffläche AGB, ASDS"B = Rechteck ABGE = 2R^ 

 wie z. z. 



Bern. Mitteii. 1901. No. 1500. 



