0. Spiess. 



Die Grundbegriffe 



der 



Iteratioiisreeliiiiiiig-. 



Einleitung. 



Die erste mathemalische Operatioih die der Mensch ausführte. 



war die Addition. 



hidem die Addition wiederholt auf dieselbe Grösse angewandt 

 wurde, entstand ein neuer BegrifT. die Multijdihation. 



Die Wiederholung oder ■ Iteration ■> der Multiplikation führte 

 weiter zur Exponentialfunhtiou. der einfachsten Transzendenten. 



Von da an verliess man den Weg, durch Iteration einer bekannten 

 Funktion zu «höheren« Funktionen aufzusteigen, indem man in der 

 Summen- und Integralrechnung eine ergiebige Quelle zur Auffindung 

 neuer Funktionen entdeckte. In der Thal, die einfache Operation des 

 Integrierens auf einen algebraischen Ausdruck angewandt, hat die Enl- 

 stehimg einer ganz neuen Funktion von merkwürdigen Eigenschaften 

 zur Fo'lge. indem man dieses Prinzip auf alle bekannten und die neu 

 gefundenen Funktionen anwandte, wurde die Analysis durch eine un- 

 geahnte Menge neuer Funktionen bevölkert. 



Nun liegt aber der Gedanke nahe, auch den alten Weg von neuem 

 zu betreten, und zu versuchen, ob nicht die Iteration ganz allgemein 

 ein Mittel zur Auffindung neuer Funktionen abgeben könne. Die 

 Untersuchung lehrt, dass diese Operation der Integration an Frucht- 

 barkeit völlig ebenbürtig ist. 



Wenden wir nämlicli eine beliebige Funktion n-mal auf sich 

 selbst an, so stellt der erhaltene Ausdruck in seiner Abhängigkeil 

 von n eine neue Funktion dar, die ich die Iteralfunktion der ur- 

 sprünglichen Funktion heisse. Diese ist allerdings zunäcbst nur für 

 ganzzahlige Werte von n bestimmt. Um zu für alle Werte ihres 

 Arguments deflnierten Funktionen zu gelangen, bieten sich dann zwei 

 Wege dar. 



