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Her erslc Weg ist der liislorisolie. xMan gehl von der nur liir 

 gdiizzahljges n abgeleilelcn Formel aus und sucht ;ui Hand einer geeig- 

 nelen Delinilion ihre Bedeutung für den Fall, dass n negativ oder 

 gebrochen wird. Auf diese Weise erliiell man z. B. aus der ganz- 

 zahligen Potenz die Exponentialfunktion. 



Die andere Methode zieht es vor, das Unendlichkleine gleich am 

 Anfang einzuführen. Iteriert man nämlich einen Ausdruck von der 

 Form i" -j- ()' f (i;), worin () unendlich klein ist, n mal. und lässt dann 

 n so ins Unendliclie wachsen, dass n • () endlich bleibt, so konvergiert 

 der erhaltene Ausdruck im allgemeinen gegen eine Funktion von 

 n-()=x, welche eben die Iteralfunktion ist. S(t fiihrl z. H. die Ite- 

 ration von ^'-f-f^-i: direkt auf 



lim (l-[-f)')".i:-= i-.e^ 



X 



Durch diese beiden Methoden zerfällt der Ilerationscalcül in 

 zwei ziemlich selbständige Zweige. Der eine hat mehr algebraischen, 

 der andere mehr funktionen-theoretischen Charakter. 



Es ist von Nutzen, die durch Iteration gefundenen Fimktionen 

 nach ihrer Entstehimg in Stufen verschiedener Ordnung einzuteilen. 

 Kennen wir bereits sämtliche Funktionen der n'™ Stufe, so wird der 

 Umfang der nächst höheren Stufe folgendermassen festgelegt. Zunächst 

 bestimmen wir zu allen Funktionen n'" Stufe ihre Iteralfunklionen. 

 Wenden wir dann diese (und ihre Inversen) auf sich selbst und auf 

 sämtliche Funktionen der unteren Stufen in endlicher Anzahl und in 

 allen möglichen Kombinationen an, so erhalten wir eine Gesamtheit von 

 Funktionen, die wir in Erweiterung des bekannten, für die Algebi'a 

 aufgestellten Begriffs, füglich einen «/vör/^t-r« heissen dürfen. 



Dieser Körper heisst «zur (n-|-l)'™ Stufe gehörig» und entliält 

 offenbar sämtliche zu den unteren Stufen gehöi'igen Körpei'. Nehmen 

 wir diese letzleren alle weg, so bleiben die Fimktionen der (n-f-l)'''" 

 Stufe übrig. 



Die bisher bekannten Funktionen gehören höchstens den 4 ersten 

 Stufen an. 



Die erste Stufe enthält nur eine einzige Funktion von einer 

 Variablen, nämlich f(|j =^ i; -f-a, die Addition. Ich heisse sie hier 

 »Protofunhtion«. 



Die zweite Stufe enthält zunächst die durch Anwendung von 

 Multiplikation und Division gebildeten rationalen Funktionen, sodann 



