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deren liiversc, dio algebraischen Funktionen. Sie lieissen liier zu- 

 sammen DcatcrofuitLtionen. 



Die drille Sliife der Trilofunl.lioneu enlspringl durch llerieren 

 der Dentero-Slufe. Daliin gehören vor allem die Ahel'schen Fiinklionen. 



Die iicächst folgende Tetra-Stufe isl heinahe noch gar nichl unler- 

 snchl. 1 lieher sind wohl die ans Ileralion von ^^ enlspringende 



Funktion, ferner Funkli(men wie / :, / e~'^ dx etc. zu rechnen. 



doch exislierl wohl noch kein Beweis, dass sie nichl doch noch am 

 Ende dem Körper der Trilofimklionen angehören. 



Es zeigt sich nämlich sofort eine Schwierigkeil. Gleichwie 

 nichl jedes hilegral einer algebraischen Funktion notwendig trans- 

 zendent sein muss, sondern algebraisch bleiben kann, so führt auch 

 nichl die Iteration einer jeden Funktion immer zu einer höheren 



stufe. So z. 13. liefert -^ ., die Ileralfunklion ^~—. die in Bezug 



auf n wiederum linear isl. 



Es isl daher bei jeder Ileralion zu i)riifen, ob die erhaltene neue 

 Funktion nicht etwa zur selben Stufe zurückführt. Daher ist auch 

 gar nicht vorauszusehen, ob Peiitafinihtionen existieren oder nicht, 

 und wir stehen so vor der interessanten Möglichkeit, dass die xMannig- 

 falligkeit analytischer Yerh.ältnisse einer ähnlichen Beschränkung unter- 

 liegt, wie sie bei räumlichen Beziehungen durch den Mangel einer 

 vierten Dimension eintritt. 



Man sieht nun bald, dass die Funktionen, die wir durch Iteration 

 erhalten können, im wesentlichen zusammenfallen mit denen, die das 

 Inlegralprinzip liefert. Man findet weiter, dass der Grund dazu in einer 

 merkwürdigen Analogie liegl. die zwischen der Summen- und Integral- 

 rechnung einerseits und dem Ileralionscalcül anderseits herrscht, eine 

 Analogie, die man füglich als Dnnlismas bezeichnen darf. 



Schon äusserlich entspricht der Summenrechnung eine end- 

 liche Ilerationsrechnung, dem Integralionscalcül eine infinitesimale 

 «lleralrechnung». Wie das Integrieren durch das Differenzieren auf- 

 gehoben wird, so steht dem Iterieren eine inverse Operation gegen- 

 über, die ich Revertkren heisse. Deutlicher wird der Dualismus im 

 Lauf dieser Arbeil hervortreten. Am klarsten tritt er bei der infini- 

 tesimalen Ileralion (die hier nichl mehr behandell werden konnte) zu 



