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Tage. Dort lässt sich iKimlicli beweisen, dass die Fiiiiklioii von 

 ii.f? = x, die man diircli Uerieren von 



in der oben geschilderten Weise erhält, genau die Inverse ist. von 

 der Funktion, die durch Integrieren von 



-— - entsteht. 



f(x) 



So führt z. B. die Funktion f(i")^^\/l -^^ beim ersten Ver- 

 fahren auf den Sinus, beim zweiten auf den Arcussinus. Beide Uech- 

 nungsarten unterstützen und ergänzen sich also. 



Die Iteration behandelt also die Fragen der Summen- und Inte- 

 gralrechnung von einer andern Seite. Indem die bekannten IM'obleme 

 vom Standpunkt der Iteration aus neu zu beleuchten sind, erolTnet sich 

 ein weites Arbeitsfeld. Es schien mir nun angemessen, vor der Be- 

 handlung der höheren Teile der Theorie die einfachen Begriffe und 

 formalen Operationen der gewöhnlichen Iterationsrechnung in elemen- 

 tarer Weise darzulegen und an leichten Beispielen zu erläutern. Dies 

 ist in vorliegender Arbeit geschehen. Da es sich hier vorläufig nur 

 um die formalen Beziehungen handelt, so ist auf Schwierigkeiten, wie 

 sie bei der wirklichen Ausführung durcli Mehrdeutigkeit, Unstetigkeit 

 etc. eintreten können, keine Rücksicht genommen. Dabei verbot der 

 notwendige Rahmen der Arbeit auf einzelne Probleme näher einzu- 

 gehen. Aus demselben Grunde musste auch die infinitesimale Iteration, 

 die einer strengeren Behandlung bedarf, weggelassen werden. 



Bevor ich beginne, will ich einige Bezeichnungen, die ich be- 

 ständig brauchen werde, schon hier auseinandersetzen. 



Sind (p{i), f(i') Funktionen, so bezeichne ich ihre Inversen durcli 

 einen über das Funktionszeichen gesetzten Strich, also mit (p($), f(i). 

 Es ist also immer fT^i") =- f f (i") = i'. Ebenso, wenn n simultane, 

 unabhängige Funktionen der n Variablen i'^, i:„ • • ' i'u vorgelegt sind 

 y^ = ki^v'2>"-'n) (k = i:2,...n), (A) 



so bezeichne ich die n Funktionen, die durch Auflösung dieses Systems 

 nach den i' entstehen, mit \'^, (.„••• f^^, so dass also 



fi < <; ^yr • • y,.^' Ir" l) - Yx, • • • K (^v • • -V = y.. i«^- 



Ein solches System von n unabhängigen Fimktionen von n 

 Variablen nenne ich kurz ein -n-Si/stein'. und vorwende für dasselbe 

 statt der Schreibweise (A) oft auch die folgende: 



