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Kiir das Iteralionszeiclien .1 gelten die Kegeln 



Es gilt also für das Iterieren wie für das Addieren das commutativi' 

 und das associative Gesetz. 



Zunächst ist das Symbol .1" nur für ganzzahlige Werte von n 

 deliniert. Wir kiUinen aber die Bedeutung sofort auf beliebiges n 

 erweitern, wenn wir J"f(i:) als diejenige Funktion von n und i' defi- 

 nieren, für welche die Beziehungen 1. und 2. gelten und welche für 

 ganzzahlige n die n^'' Iterierle von fii'j ist. 



Nach dieser FeslsteUung. die für Funktionensysteme ganz ent- 

 sprechend ist, ergiebt sich leicht die Bedeutung von .1" für negative 

 und gebrochene n. Es ist nämlich 



.i«f(if) = if. j;; (f, . . . f,,) = .,. j.-^i;- • • f,) =1,--' i-^m^i'n^)- 



Weiler bedeutet .l^f(^) diejenige Funktion, deren n'*- Iterierte die ge- 

 gebene Funktion f(i') ist. Speziell für f (^■) = ^" ist J" (i") eine 

 cyclische Funktion. So ist 



Für die Iterale von f(i:) gilt offenbar die Relation 

 j"+^f(^-)z=frj"f(i-)j 

 (»der, wenn wir von nun an statt n x als Iterationsvariable wählen, 

 und dieselbe mach Obigem als beliebig reelle Grösse ansehen, — falls 

 wir noch .I^f(i:) ^ y-(x) setzen 



,/(xH-l) =f9-«. 3. 



Ebenso genügt j;!(f^- • • 'i,) = (pj\) der Relation 



^,(.) = f,[^,(x-l), V^,(x-l),-..s^„(x-l)), (k = l...n). 4. 



Umgekehrt, sind (^^ • • • (fi) Lösungen der Gleichung (4), so sind 

 sie zugleich die Iteralfunktionen der (l\--.iv)- Setzen wir nämlich 

 auf den rechten Seiten von (4) für ^.-/(x— 1) den Wert ein, der aus 

 (4) folgt, wenn x — 1 für x gesetzt wird, und fahren so fort, so folgt 

 wirklich 



