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wenn die willkürlichen Grössen ^^(o). <r".,(o), • • • c",,(o) resp. gleich 

 i:^,''-C;, geselzl werden. Diese letzteren kann man als Konstanten 

 oder allgemeiner als Funktionen von x mit der Periode 1 ansehen. 

 L)a aber die letztere Annahme in den wenigsten Fällen auf die weitere 

 Rechnung einen Einlluss übt, so können wir hier davon abstrahieren 

 und sagen: 



Satz [. Die Itcralfanhtionen eiups r-Sijstems (f\- --(,,) sind 

 durch dasselbe löUuj hesliiiiint bis auf die Anfaiigs- 

 werte (p^(o).- • • ip^ (o). Letztere hütmeii beliebigen 

 Konstanten gleichgesetzt werden. 



Das System (4) kann übrigens auch als Differenzengleichung 

 aufgefasst werden, woraus sich ergiebt, dass die Lösung von (4) so- 

 wohl als Problem der Summen- wie der Ilerationsrechnung aufgefasst 

 Nverden kann. Nun kann man aber jede beliebige Differenzengleichung 

 auf ein simultanes System von Gleichungen erster Ordnung zurück- 

 führen. Es kann daher jedes Problem der Sumnienrechnung auch als 

 Problem der Iterationsrechnung aufgefasst werden. 



Eine Gleichung Gl^(x-fk), ^(x f-k — 1), • • • ^-(\)i -^ (5) 

 wird man allerdings hauptsächlich in der Differenzenrechnung behandeln. 

 Man kann ihr aber, dem in der Einleitung erwähnten Dualismus gemäss, 

 eine andere Gestalt geben, in der sie speziell zu einer Aufgabe der 

 Ilerationsrechnung wird. 



Wir setzen nämlich in (5) \ = ^(i'), w^o cp die Inverse von (f 

 ist. Dann wird also (p(p(^) = ii. Setzen wir ferner 



^^(l+^i)=.f(i:), (6) 



so folgt sofort: 



ff(i) = vH'l-f V^V-a H-^i)) = <p{2-i-i^). 

 fff(i)= ^n3f^.^). 



Schreiben wir noch zur Bequemlichkeil .l''f{c) =^ f'^^li')- ^<' wird 

 unsere Gleichung (5) transformiert in 



G^r\^), f'^-^^(i),....f(iO. ^, (7) 



Diese Gleichung stellt die Aufgabe, aus einer Relation zwischen 

 den cersciriedenen Iterierten einer Funktion diese Fuuktio)i. selbst zu 

 finden. Aus der Gleichung (6). die man auch schreiben kann 



^(x + l) = f^(\), 

 sieht man. dass pix) einfach die Ileralfiinktion von f(i:) ist. 



