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 Analug köiiiieu wir auch siiiuiKanc DilTerenzeiigleicluingen, z. B. 



Hf^Kx+k,). ,'.(x + ig.....Y(x). »"ix^i = ^'''^ 



uinfurmeii. Wir setzen nämlich ^-i\) = i:, j''(\) = ;^ und bestimmen 

 zwei Funktionen f(i, j^). g(>, ^/) su, dass 



was, wie wir sehen werden (Satz YII), auf unendlich viele Arten mög- 

 lich ist. Dann ergiebt sich offenbar wieder, dass <f, ii< die Iteralen 

 von f und g sind, d. h. es wird 



./(X + k) = J^(f,g)U. .J:=f'^'(^-, ,^) 

 ,.(X^hlO = Jo(f.g)(^-./,)=g''^(.^»,). 



wodurch die Gleichungen 7a eine (7) analoge Gestalt annehmen. 

 Ist endlich eine partielle Differenzengleichung vorgelegt 



GV(x^hl^-y4-li:),-"f/(:x,y)j=0, (8) 



so wählen wir eine beliebige Funktion j'»(x,y), die elxva einer 

 Gleichung genügt 



Hr,/,(xfk^. y-]-hj....,„(x,y)j = (). (9) 



setzen alsdann ^'(x. y) := i:. (''(x, y) = >^, also \ =^ (f(^^ i^), y = ih{^, i^) 

 und bestimmen zwei Funktionen f. g, so dass 



<fii-}~<[. ^) = f(i-. ,,) c[c, 1 + ^) = f,^(i:-, ,/) 



"•(i+'A, "0 = g(^;'() i"{<p. 1+'") = go(i','/)- 



Dann ergiebt sich ohne xveileros 



9(2 4-9, ^.) = f(f, g) ; I- (!• , g,) ^ if (9, 2 +^0 



,/.(2+9, »'0 = g(f,g); g„(f,,g„) = ,'.(9, 2^[-ip). 



Allgemein erhält man für die Iterierten von (f. g), (i;,. g^) 



<p{k +^ 7l<) = J^ (f, g) (,^ ,,) = 1*' : 9(9, h -f '70 = J' (f„ go) (^' '/) = f;,'" 



"•I kof v, "0 = J^(f.g)(i; '/)=g"<*'; "'(^^,ii„+ '") = Jhfogo) (^'0 = go'": 



worin natürlich k. h, k^^, h^ ganze Zahlen bedeuten. Es wird dann z. B. 



9(k + x, h+y)=:9(k + 9; h-f-,.) = f*'^'[ff (^, .,), g;;'\i:, *Pj etc. 



Setzen wir diese Werte in (8), (9) ein, so verwandeln sich die.se 



Differenzengleichungen in Relationen zwischen den Iterierten von (f. g). 



(f,^g,,), und umgekehrt kann jede solche Relation durch Einführung 



der Funktionen 9, ii< in eine Differenzengleichung verwandelt werden. 



Alle solche Relationen zwischen Iterierten verschiedener Ordnung 



fasse ich unter dem Namen Ilcnüiilcichunijt'a zusammen. Das Problem. 



ßei-u. Miiteil. 1901. No. 1514. 



