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Wii- haben dann in 1' eine Lösung unserer lleialgloicliung (10). 

 sobald wir noch zeigen können, dass aus (12) rückwärts wieder (10) 

 sich als notwendige Folge ergiebt. 



Die Gleichung (12) für f wird einfacher, wenn wir die Exponenten 

 nehmen und setzen 



"~ 2*~^ =y> ai«' i"(^')--(i'-,Y)'-'+y'. CU) 



Es ergiebt sich dann y aus der Gleichung 



y^'^i: — y. (15) 



Nelunen wir-— statt C, so folgt (if — y)' =.y. d. h. es ver- 

 tauscht sich einfach y mit fi'— y). Da aber f(i:) nach (14) in beiden 

 symmetrisch ist, so sieht man. dass zu reciproken Werten von C das- 

 selbe f(i') gehört. 



Für rationale Werte von G wird f(i') algebraisch. Z. 13. wird für 

 G = oo. y = l !•(.-):= l_|_(i-_ 1)2 



y = f(^') = |2 



G = - 1 y =^^^^1 — i'(i-) = ^'-2 



Man überzeugt sich leicht, dass diese Funktionen die Gleichung 

 (10) befriedigen. 



Es bleibt nun noch der Nachweis zu leisten, dass die Gleichung 

 (12) oder die beiden Gleichungen (13), (15) zusammen wieder auf 

 die Relationen (11) und somit (10) zurückführen. Aus (13) zieht man 

 zunächst die beiden Gleichungen 



f+\/2ff — f^ _ 1^ ^- -f-^2T=:|^Y' -'-^ 



f— \/2ff— f2 __ /i'—y^-Z:«- ^ ''' *^ 



2 \ 2 



wo /(i:) konstant oder von.i: abhängig sein kann. Es ist also zu 

 zeigen, dass y = 2 ist. Addieren wir beide Gleichungen, führen y 

 ein und für f seinen Wert aus (U), so erhalten wir: 



