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Es gill nun aber auch der. unigekelirle Salz, näiulicli 

 Satz IV. Sind zwei n-Syslciiie {l\...ij, (gj...g^) hoinma- 

 tatir, so sind sie associerte, partielle Reverse eines 

 und desselben Fnnhlionensijstems (</, . . '/,i)(^i • • \)- 

 Beweis. Sind die beiden Systeme commulaliv. so gilt 



(f^...f,)(g,...gj--=(g,...gj(f,...r). 



Substituieren wir beide Seiten in (f^ . . . fj und bezeichnen all- 

 gemein ein n-fach iteriertes System mit (1'^ . . . fj". so folgt suc- 

 cessive 



(fl • • • f./ (gl • • • gn) = (f 1 • • • U (gl • • • gn) (f, • ■ ■ fn) = (g^ " ' g,.) (^1 " " ^J' 

 (fl •••<"..)' (gl- ••gn)= (gl--g„^ifl--V'' 



Allgemein haben wir für zwei ganze Zahlen x,, x., 



(fi • • • KS' (gl • • • g„)" = (gl • • • g./' ^h ■ ■ ■ KS"- (2<^ > 



Bezeichnen wir diese n Funktionen von x^, x., und den i" mit 



^i(>^r ^2? 'r • • 'J' "^AS^ h'^ 'r ■ • U- • • • ^nl^r h'^ 'i • • • ^n)- 

 so gelten offenbar die beiden Gleichungen 



((/>, . . 0^) (x, + l. X,; if, . . . i^,) = (f,. . f,) (//>,.. Ö)J(x,. X,; ^^..ifj 

 i(Dj...(PJ(x^.x.-f-l;i^...i,J = (g^...gJ(a>....(/>J^x^,x.;|^...^,). "^ ' 



Setzen wir nun für i"^. .. i'^^ willkürliche Funktionen von n — 2 

 neuen Grössen x,,, x^, . . . x^^. so gehen die Funktionen W über in 

 Funktionen ('/i.-'/J der n Grössen x^, \.^,...\^^ und die beiden 

 (ibigen Gleichungen werden zu den folgenden : 



('/l • • • '/„) (^j+1^ h^ ■ ' ■ ^' = (V • • V ('!, ■ ■ ■ '/n) (\- • • \V 

 (</!• • • '/n) (^1' \^ + l-- • • O = (gl- • • gn» ('/l - - • '/n) (^ • • ■ \.>- 



Bei der Wahl der genannten willkürlichen Funktionen hat man 

 nur darauf zu achten, dass die <f^...<f^ von einander unabhängig 

 werden, d. h.. dass ihre Funklionaldeterminanle nicht verschwindet. 

 Dann kann man nämlich das System (^^ ...</„) (x^. .. xj lunkehren 

 und setzen: 



Xi = 9^1(^1... ij, x,^ Yj<'i---'J> \='/„(n- -•'«)' 



wodurch wir die Funktionen f und g in der Thal als partielle Reverse 

 der q dargestellt erhalten. Zugleich sieht man, dass infolge der Will- 

 kürlichkeit der in (27) eingeführten Funktionen von \. . ■ x^^ unend- 

 lich viele solcher Funktionen q existieren, sobald n ^ 2. 



