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Beineis. ßozeichnen wir für den Augenblick das Ueralsyslem 



der (f^ . . . f ;i inil (Q^... (/Jj (x, ; i\ . . . ifj, so gilt 



(O^... (/)„) (x^ + 1; ^,... ^,) =(r, . . .U(^, . . . (I\) (X,; if,. . . ^). 



Setzen wir hierin für i'^. . . • i^ beliebige Funktionen der neuen 

 Variablen- X.,. • . . x_^ ein und bezeichnen die so transformierten (CD^ . . .0^) 



mit (^i--- ^n)(^i---^,)- 



so geht das obige GleichungssysLem über in 



(^f\ ■ ■ . V„) (S + 1- h- ■ ' • \) = (fr • ■ g (fi- ■ ■ 9\) (\-- \), 

 womit der Satz bewiesen isl. — Der Nutzen dieses Salzes ergiebt sich 

 aus folgender Bemerkung. Bilden wir nämlich von den so gefundenen 

 Funktionen cp die Reverse nach den Variablen x.„ . . . x^^, so erhallen 

 wir nach Salz III lauter zu (f^ . . . f J kommutative Systeme. Das 

 giebt das 



Cnrolhir: Zu jedem gegebenen n-Siistem (f^...fj kann, falls 

 n^ 1 ist, eine unendliclw Anzahl kommutativer 

 Sifsteme (g^.-.gj^) gefunden werden. 



Wii- wollen nach dieser Methode ein Beispiel rechnen, indem 

 wir die Anfgahe lösen, zu den beiden linearen Funktionen 



f^ :^ a i" -(- b n \\ =■■ c i" + d *^ (3 2) 



die nllgemeiiie Form der :n ihnen konimntatiren Funktionen g^, g., zn 

 bestimmen. 



Wir suchen Grössen l. u. m der Art, dass die Gleichung besieht 



l f^ -\- u lg ^= oj {l^-\-i^( if) 



und zwar lindet man leicht 



;t = c, u = CO — a; lü'^ — (a-f-d) w-j-0>d — bc) = ü. 



Nehmen wir die beiden Werte cj^, vj., von w für verschieden 

 an, bezeichnen wir ferner die partiellen Ileralfunktionen von f^, f., 

 mit <i)(x), 'P{X), so hat man die Beziehungen 



cCP(x)-[-(w^— a) ''P\x) = vjl(c^-\-{so^—a)ri) 



(33) 

 cÖ>(x) -|- (w,-a^ ^F(x) = f4 (c ,--}-(w, — a) //). 



Wir setzen nun für ^, »^ willkürliche Funktionen einer neuen 

 Variablen y ein. setzen also etwa 



