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F, (j sind völlig willkürliche Fiinklionen. IJie Formeln (36) enl- 

 halLeii die vollständige Lösung unserer Aufgabe für den Fall un- 

 gleicher NVurzeln w. 



Die Funktionen f^, f„, g^g,,, bilden zusammen ein totales Hevers- 

 system, das die totalen Iteralen ^ (x y), ?/; (x y) hat. 



Setzt man für F, G beliebige Konstanten A. B, so erhält man 

 eine partikulare Lösung des Problems, aus der man also die allge- 

 meine findet, indem man die Konstanten durch willkürliche Funktionen 

 des Ausdrucks C(i:, ^^,) ersetzt. Diese Funktion C(i:i^) hat die Eigen- 

 schaft, sich nicht zu ändern, wenn man an Stelle von i, r^ resp. f^(si^), 

 f2(i't^) setzt. Da sie demnach für alle Iterierten von (f^ f^) sich gleich 

 bleibt, nenne ich sie eine Coiterante von (fp f„). 



Solche Coiteranten gibt es zu jedem System (f^ •• • f ). Man kann 

 sie in der angegebenen Weise erhalten, indem man aus je zwei 

 Iteralfunktionen die Ilerationsvariable eliminiert. Sie spielen in dem 

 Problem, die kommutativen Funktionen zu finden, eine Hauptrolle, in- 

 dem sie dazu dienen, aus partikularen Lösungen mit willkürlichen 

 Konstanten allgemeinere Lr)sungen herzustellen. 



Zum Schluss dieses Paragraphen folge noch eine Bemerkung 

 zur Theorie der Reverse. Es gelte nämlich zwischen den Funktionen 

 (f^--f^) eines n-Systems und den n Funktionen ^^•■■^^ der r Vari- 

 ablen Xj^-Xj, ein Gleichungssystem der Form 



{<f^... <pj (x^H-l- X2, . . . X,) == (f, . . . (f, . . . <f,) (X, . . . X,.) (37) 



Ist nun r=:n, so sind, wie wir gesehen haben, f ^^ • • • f ^ durch 

 diese Gleichungen als partielle Reverse der <f^--- (p^ eindeutig 

 bestimmt und können durch Einführung der Inversen der (f aus diesen 

 leicht dargestellt werden. 



Ist aber r"<n, so sind die '/r"'/n "'^'li'' ^on einander unab- 

 hängig, es existieren vielmehr n — r Relationen zwischen ihnen, die 

 wir etwa schreiben können 



^1 = ^i i'fl • • • 'fn^- '/•_> = ^2 ('/!••• '/n)' • • ' 'fn-r = ^n.rC^^i • • • ^„)- 



Führen wir diese Ausdrücke für a. • • • (f in die rechte Seite 

 von (37) ein, so nimmt dieselbe die Gestalt an 



(f\...fV)(Y,...'/J(x,...x,.). 



Die Gleichung (37) bleibt also bestehen, wenn wii- die f durch 

 die f ersetzen, d. h. es gilt der Satz : 



