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1. (^^ . . . i^^) - (.., . . . C.J = (^ . . . ij. 



III. i(i:-^...^;)-(y^...yJl - 0^, . . . »J (42) 



=-(i:;. . .i;) - (/^^. . . ,J-(y^.. . yj. 



Man sieht, dass man mit dem Zeichen ^ gerade so operiert, 

 wie mit deüi Zeichen -|- der Addition, die ja auch eine Ligante ist. 



Die genannten drei Eigenschaften sind nun aher für die Liganten 

 definilorisch und darin Hegt auch ihre Wiciitigkeit. Es gilt nämlich 

 der folgende Satz: 



Satz IX. Alle Fiuilitioiu'ii oder Fuuktionenstjstein.e von 2 n 

 Variablen, denen die Eigensrliaften I, II, III zu- 

 liommen. sind Ligante)» eines Si/steins ron n Fanh- 

 tionen mit n Variablen. 



Beweis: Genügt das System (i:^ . . . ifj '-^ {i^^ . . . *^J den 

 Gleichungen I. II, III. so findet man zunächst mit 

 Hilfe v(m II. III 



J^il • • • ^n) - ('n ■ ■ ■ 'in' = (^, • • • ^J -^ I ('/, • • • '/„) - in,--- '/„) I 

 •J^(^I---^J -('/!• ■•'/„) 



= (?i • . • ^'„) - [ ('/i • . ■ tj - (/^i . . . ',ij - (*/, . . . r^J ). 

 Bezeichnen wir allgemein den Ausdruck 



i^i ■ ■ • 'in' ^ '.»/l ♦ ■ • 'in' '- ■ • -- "il- • • V^ ^^'^»'"i" ('il • • • 'in) ^ »"a' 



vorkommt, mit (j^^ . . . tj^) , so findet man für das Ilei'alsystem von 

 (i'^ . . . '^J ~ {ij^ . . . *^j^) den Ausdi'uck 



"•'^(^, • • . ^.) ~ ('ji . • • 'in) = (^1 • • • k) -^ Cii . • • ihr^- m 



Für x = o ergieht sich daraus mit Hilfe von I die Bedeutung 

 des Symhols (/^^. . . >/,j)'^°: nämlich 



0/1 . ..rj'" = (oj^...ojJ. (44) 



Setzen wir nun in (43) i" c=::^ (-k. i', = w,, ...i: =-- w . so dass 



- l 1 - -' 2 - 11 n 



also .r = {vj^ . . . ojj. .1^ = (»^ . . . >ij wird, 



setzen dann für (»^^ , . . ^^j der Reihe nach die Wertsysteme 



