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(»i !••• »/n)^ (Vi • • -'/n )' • • -('il •• • '/n ' 



ein und für x entsprechend x^, x.„ .... x^^, verbinden endlich die so 

 erhaltenen n Ileralsysteme durch das Zeichen - . so ist das ResuHat 

 offenbar das n- System 



(*h • • • 'fn) i^ • • • \) 



= (»i 1 ■ • • n u) -■ (ni • ■ • 'in )'-••• ('h • • • ^/n ) • (45) 



Setzt man hierin Xj. -|- y^ an Stelle von Xj., und ordnet die 

 Glieder rechts passend um, was wegen If, III möglich ist, so erhält 

 man sofort die Formel 



=. (<p^... <fj (x^ . . . xJ ^ (<p^ . . . r| J (y, . . . yj, (46) 



welche von (,41) nur durch die Schreibweise verschieden ist. Damit 

 ist der Satz bewiesen. 



Eine genauere Betrachtung zeigt übrigens, dass die Relationen 

 I, II. schon in der dritten enthalten sind, so dass also die Eigenschaft 

 III allein zur Definition der Liganten ausreicht. 



Für n = l hat Abel zuerst den obigen Satz (aus der Annahme III) 

 auf andern! Wege hergeleitet. 



Bedenkt man. dass aus i45) folgt 



u/f ••'Aj(>^i<J"-o^ = ('/r--'/'„f' etc., 



so sieht man. dass sich (45) auch in dei' Form schreiben lässt: 



('/i---'/„H^f-\) 



d. h. in Worten: 



Satz X. Auf Funktionen eines n-Systenis lassen sieh mit Hilfe 

 der Liganten durch die n'~ Funktionen [(p^---(fi^^) 

 (\^o---o) etc. von je nur einer Variablen ausd) liehen- 



Sind die Liganten algebraisch, so ist also aucli diese Zurück- 

 führung algebraisch ausführbar. Den Salz X hat zuerst Jacolii am 

 Beispiel der AbelsclKMi Funktionen nachgewiesen. 



Wir sind zu dem Begriff einer Ligante gelangt diircli die Aufgabe, 

 die Funktion einer Summe durch die Funktionen der einzelnen Sum- 



