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G,(x) = C,-^ ^-^; C..(x) = C: etc. 



Mau überzeugt sich leicht, dass allgemein <f^i\) aus Expouenlial- 

 fuuktioneu. eventuell auch aus rationalen Funktionen zusammengesetzt ist. 



Wenden wir uns zu den algebraischen Funktionen überhaupt, 

 so ist klar, dass hier die Schwierigkeit der [teration noch grösser 

 ist, als bei den rationalen Funktionen. Indessen giebt es doch viele 

 und allgemeine Fälle, in denen diese Schwierigkeiten zum Teil ge- 

 hoben sind, so dass man zu Resultaten gelangen kann. 



So giebt es z. B. unzählige Funktionen, die nach Art des Satzes II 

 durch algebraische Transformation aus linearen oder Isobaren Funktionen 

 entstanden sind und natürlich durch Iteration auf Exponentialfunktionen 

 führen. Dahin gehören ferner alle algebraischen Funktionen, die etwa 

 einer linearen Iteralgleichung 



f'^' = a^ f^'^- '' + a., f^'^--^ + . . . a,_. f f ( i ) + a, _, f ( ^) + a^ " ' 



(l"^^=j"^^f) 

 genügen, so z. B. die Funktionen f in dem Beispiel pag. 116, die 

 rationalen Werten der Konstanten C entsprechen. 



Zwei Klassen algebraischer Funktionen sind dadurch interessant, 

 dass sich bei ihnen die Iteration durch rationale Rechnung be- 

 wältigen lässt. 



Es seien f^, • • • f„ " unabhängige algebraische Funktionen der 

 Variablen i', • ' " ^li ^'"'^' ^'^ ^^^ " '^'^''' '^^''1'^'' ^^"^''" •'^lionalen Funk- 

 tionen der i". Der durch Adjunktion von f^. ••• f^ entstandene Körper 

 Q{i^' ' ' r) lieisse dann kui'z -der Körper von (f^- • • f^) •. 



Iterieren wir f^ • • • f^. s" werden die Ausdrücke f^ (f^ • • • f^ ), 

 . . . f (f . . . f ) im allgemeinen nicht mehr dem Körper /2(f •••f ) an- 

 gehören. Es giebt indes eine grosse Zahl v(m Funktionen, für welche 

 dieser Fall eintritt, für welche also 



f (f . . . f ). . . . f^(f^. • • f j = rationalen Funktionen von (f^-'f^. ^V^n* 

 sind. Ebenso sind dann auch die llerierten höherer Ordnung Funk- 

 tionen in iJ(f^- • fj. Solche Funktionen f^- • f,. die in ihrem eigenen 

 Körper iterierbar sind, heisse ich •^hörperlreii ■^. 



Man kann die Aufgabe zu gegebenen Irrationalitäten o^(i:\--i,J. 

 o.„- • • (>,^ alle körpertreuen Funktionen zu linden, leicht auf eine Auf- 

 gäbe der' Gleichungslehre zurückführen. Bezeichnen R^, • • • R„ ratio- 



