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mW Fuiiklioiicii der Variablen x^-'-x^^ mit vorläiilig willkiirlicheii 

 Koeflizienloii und bilden wir von dem Ausdiiick 



(?u(^-"-^J-t^k(^,'---\^ (k = l...n) 



das Pi'odukl über alle Konjugierten von o,.. so erhallen \\\r das 

 folgende System rationaler Gleicluingen 



G, = iT^,(x,, . . . xj - H,(x^. . . . xj = k = 1, . -n). (53) 



wodurch x^^, • • x^^ als Funktionen der Koeffizienten dei' H bestimmt 

 sind. Unsere Aufgabe läuft nun darauf hinaus, diese Koeffizienten der 

 sonst willkürlirhen rationalen Funktionen R als Grössen aus IKo^- ■ uj 

 so zu bestimmen, dass das Gleichungssystem (53) ein System rationaler 

 Lösungen erhält: 



X, = f, = R, (o • • o , i:' • • if ). • • • X = f = R (o, • • o t, • • >S ). (54) 



Dabei hat man noch zu achten, dass die f auch primitive Grössen des 

 Körpers i2(o^--Q^^) sind, d. h., dass sich auch die q^'-q^^ umgekehrt 

 durch die I, • • f ausdrücken lassen. 



1 n 



In jeder der Gleichungen (r)3) miiss ferner ein Faktor ver- 

 schwinden, also für jedes k gellen: 



Q\{h--0 = \^h---k^ (k = l..n) (55^ 



wo q'^ irgend eine der Konjugierten von o^ oder q^ selbst vorstellen 

 soll. Sind nun noch i>i[Q^)j Q (q.^), • ■ 12{q^) lauter Galois'sche Körper, 

 die mit ihren conjugierten Körpern zusammenfallen, so folgt aus (55), 

 dass auch o, (f, • • f 1 und somit aucli f, (f, • • f ) sich rational durch 



^ k'- 1 n-^ k ^ 1 11'' 



0^- • • Q^^ resp. f^' • • f^ darstellen lassen, d. h. die Lösungen fj- • • 1]^ 

 sind hörper treue Funktionen. 



Stall der n Funktionen ^i^- •• (^^^ kann man auch eine einzige 

 primitive Gnisse o des Körpers i2(Q^---Qj einführen. 



Hat man so ein körperlreues Funklionensystem gefunden, so 

 kann man sich die Iterierlen verschiedener Ordnung durch bloss 

 rationale Rechnung successive darstellen. Damit bleibt allerdings die 

 Schwierigkeit, die allgemeine Iteralfunklion zu finden, noch dieselbe, 

 wie für die rationalen Funktionen. Indes ist die Lösung des obigen 

 Problems auch so schon wichtig, zumal sie einer interessanten An- 

 wendung auf die Zahlentheorie fähig ist. 



Ist nämlich Fix, x^. ...xj eine rationale Form der Variabein 

 x,x^'''X^ mit ganzzahligen Koeffizienten, so stellt die Zahlentheorie 



