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die Aufgabe, solche ratioiuilc Werte der x, x^-'-x^^ zu bestimmen. 



welche der Gleichung 



F = 

 Geniige Ihun. 



Angenommen nun, wir kennten ein Lösungssyslem x = a. 

 Xj^ = a^, • • • Xj^ = a^^, so liefert das folgende Verfahren ein Mittel, um 

 etwaige weitere Lösungen zu linden. 



Lösen wir die Gleichung F = nach einer der Variablen, z. B. 

 nach X auf, so erhalten wir 



x = p(x^,X2, ...xj, 



wo o algebraisch ist. Nun suchen wir, wenn dies überhaupt möglich 

 ist, ein körpertreues System f^ • • • f , zu --*((*)■ Setzen wir alsdann 



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 SO gilt auch wegen der Körpertreue der f j • • • f^ 



Für ^^ = a^, £,= a,„ . . . i,^= a^^ geht dann ^(if^ • • • ifj in eine 

 rationale Zahl a über, x, x^ • • • x^ werden daher ebenfalls rational 

 und stellen ein neues Lösungssyslem vor. Iterieren wir successive 

 das System (fj-'-fJ- s" erhalten wir in den Iterierten beliebiger 

 Ordnung 



x("> = <(^. . . g, x« = j;-(r, . . . fj, . . . . xl"' = /:\f,- ■ ■ f„) 



verbunden mit \ ^= ()(jj, 4, • • • •',',) neue rationale Lösungssysteme, 

 sobald nach der Iteration i" = a, ^^ =: a^, • • • i'^^ = a^^ gesetzt wird. 



Die so erhaltenen Lösungen brauchen nicht alle von einander 

 verschieden zu sein. Sobald das System (f^ • ' ' 'J ^'^'' *^^® speziellen 

 Werte i" = a^, • • • i:^^ = a^^ cyclisch wird, wiederholen sich von einer 

 gewissen Ordnung an die Lösungen wieder. 



Ist also ein einziges Lösungssijstem bekannt, so liefert uns die 

 Iteration gewisser hörpertreuer Funktionen eine endliche bis unendliche 

 Anzahl neuer. 



Diese Methode ist die Verallgemeinerung des bei der Pell'schen 

 Gleichung längst bekannten Verfahrens. 



Beispiel einer körperlreuen Funktion ist 



