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rein algebraischen .MiUeln herzusLelleu und sodann ihre Ileralfiinklionen 

 /ii untersuchen. In der Thal sind diese lelzlei'en Funktionen (und 

 (he aus ihnen zusammengesetzten) die einzigen Trilofunktionen, die 

 bisher erhallen worden sind, und es ist das grosse Abefsche Theorem 

 in seiner ursprünglichen Form nichts anderes, als die dualistische Be- 

 handlung und teilweise Lösung des soeben aufgestellten Problems. 



Zum Schluss mag noch eine allgemeine Bemerkung folgen. Wir 

 verstanden in dieser Arbeit unter Iterieren durchweg, dass eine Funktion 

 (»der ein Funktionensystem unverändert und fortgesetzt in sich selbst 

 substituiert wird. Wir können nun aber den Begriff des iLerierens 

 dadurch erweitern, dass wir die Funktionen bei jeder Substitution 

 etwas abändern. Ist z. ß. f(i, «) eine Funktion von i' mit einem 

 Parameter a, so bilden wir die Reihe 



f(i, «^), f(i,«,), f(i, «3), f(i, «J, 



und substituieren das zweite Glied in das erste, das dritte in das 

 zweite u. s. f. Wir erhalten so einen Ausdruck, den ich eine Fiink- 

 tionenkette heisse. Unterliegen die Grössen «^^ einem bekannten Ge- 

 setz, bilden sie z. B. eine arithraelische Reihe, so kann man nach der 

 Funktion von n fragen, welche diese Kette allgemein als Funktion 

 ihrer Gliederzahl darstellt. Eine solche «Iteralfunktion» ist z. B. die 

 Fakultät (a, -|- 1)" nach Grelles Bezeichnung. 



Diese -erweiterte Iterationsrechnung» lässt sich formal zum Teil 

 ganz ähnlich behandeln wie die gewöhnliche, spielt indes keine solche 

 Rolle. Übrigens kann sie ganz auf die letztere zurückgeführt werden, 

 so dass keine neuen Funktionen dadurch zustande kommen. Sie ist 

 hier nur der Vollständigkeit wegen erwähnt worden, und weil es oft 

 nützlich ist, gewisse Probleme unter diesem Gesichtspunkt zu betrachten. 



Bern. Mitteil. 1901. No. 1517. 



