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M 



^ ■ V 2 l.-^"' 2(n4-2) ^"" 2 . 4 (n-f-2) (n-|-4) ^~ 



Stiiiing gelangt daher zii folgendem Salze : 



/)('/• Exponent des Binoms, wenn gerade, sei n, wenn ungerade 

 n — 1 ; dann wird sieh der mittlere Coef/izient zur Summe aller 

 Coeffizienten verhalten, wie die Einheit zur mittleren Proportionale 

 zwischen dem halben Kreisumfang und der einen oder anderen von 

 folgenden Reihen : 



A 91J , 25C 



" "'" 2(n 4- 2) "^ 4(n 4- 4) "^ 6(n 4- 6) ^ • 



A 9B 25C 



n -f- 1 — 



2(n — 3) 4(11 — 5) 6(n — 7} 



wenn man allgemein die Reihen narh Newton'scher Bezeichnung niil 



A ± B J: C :J: n J: darstellt. 



Ueber den Gebrauch der Formel spricht sich Stirling dahin aus, 

 es genüge, wenn n =- sehr gross werde, zu setzen 



i("+i)- 



oder 



(für lim n = sehr gross). 



V27rn 



Das Sti?ding'sche Resultat heim Coeffizientenprohlem ist somit dem- 

 jenigen Moirre's genau gleich: flenn Moirre hat für das Verhältniss des 

 mittleren Gliedes zur Summe aller im entwickelten Binom (1 -\- 1) , 

 für n = gerade, den nämlichen Ausdruck, jedoch ohne cyklometrische 

 Darstellung der Constanten, gefunden. 



14. Wie Moivre, so mussle auch Stirling durch das Coeffizienten- 

 problem darauf kommen, einen numerisch leicht zu berechnenden 

 Summcnaiisdruck für Log r(x) resp. für r(x) zu suchen. Er behandelt 

 dazu folgende Aufgabe*) : Es sei die Summe beliebig vieler Logarithmen 

 zu finden, deren Numeri in arithmetischer Progression fortschreiten. 



■*) Loc. cit. Propos. XXVlil. p. 1:55. 



Bern. ^litlheii. 1893. Nr. VVi'i. 



