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Es mögen \ 4- "• ^ ~\- 3n, \ + 5n, x -f- 7n z — 3n. 



z — n, beliebig viele Zahlen in arilhnielischer Progression bezeichnen, 

 die letzte sei z — n. Es seien ferner log z und log x die Tafellogarilhmen 

 der Zahlen z und x, und a sei gleich dem Modul, d. h. gleich dem 

 reciproken Werlh des Log. nat. von 10. Dann wird die Summe der 

 Logarithmen der vorliegenden Reihe gleich sein der Differenz zwischen 

 den beiden folgenden Reihen : 



7an=^ 



zlogz 



xlogx 

 2n 



2n 



a\ 



12z 



12x 



h 



360/;- 



van" 

 360\2^ 



31an^ 

 1260z^ 



T ■ 



31an^ 

 1260x^ 



+ 



Diese Reihen setzen sich so ins Unendliche fort 

 Man setze 



1 



3.4 



1 

 7.12 



1 

 9.16 



= A, 



3B. 



5.8 

 = A + lOB -|- 5C, 



= A + 21B + 35C -f- 7D 



127an' 

 1680z' 



127an' 

 1680z' 



in in f. 



in inf. 



Die Zahlen, die in den verschiedenen Werthen von A, B, C, D 



multiplizirt werden, sind die ersten, dritten, fünften, .... 



Coeffizienten dei- ungeraden Potenzen des Binoms. Dann wird der 



1 -. 7 



Coeffizient des dritten Terms — 

 31 



der des fünften C 



12 

 und so fort 



A, der des vierten B = 7 



360 



1260 



Beweis. Es werde die Variable z um ihre Abnahme (con- 

 stante Differenz) 2n vermindert, d. h. man substituire z — 2n für z 

 in die Reihe 

 zlogz az an . an"'^ 31 an' 



2n" 



at. an 1 



. . . in inf. 



2n 2n 12z ' 360z^ 1260z^' — 



Man subtrahire die neue Reihe von der vorigen, so wird sich, nach- 

 dem man durch Division die Terme auf die nämliche Form gebracht, 

 als Rest ergeben : 



