zlogz — az - ^^_^ , ^^ 



— 147 — 



an an^ an^ — ■ • , 



'»«' z 2^ - ^3?^ + '" ""■ 



d. li. der Logarithmus der Zahl z — n. 



So ist allgemein die Ahnahme zweier siiccessiven Werllie der 

 Reihe gleich dem Logarithmus von z — n, der allgemein jeden he- 

 liebigen der Logarithmen bedeuten kann, welche zu summiren sind. 

 Die Reihe wird also die Summe der vorgegebenen Logarithmen sein, 

 wenn von ihr die andere Reihe subtrahirl wird. Denn die Suramen 

 der Reihen sind wie diejenigen der Flächen zuweilen zu corrigiren. 

 damit sie richtig werden (Constante). 



In Exemp. II, al. 2 geht Stirling alsdann so weiter: Will man 

 die Summen von helielng vielen Logarithmen der natürlichen Zahlen- 

 reihe 1, 2, .?. - — n haben, so ist n = — , und es werden 



3 oder 4 Glieder der Reihe 



a , 7a — 



24z "^ 2880z' 



zu denen man den halben Logarithmus des Kreisunifanges, dessen 

 Radius die Einheit ist. d. h. 0.39908 zu addiren hat, die gewünschte 

 Summe geben und zwar mit um so weniger Mühe, je mehr Loga- 

 rithmen zu summiren sind (Convergenz). 



15. Dies die Stirling'sche Darstellung seiner nach ihm henannten 

 Reihe. Stirling (ludet also zunächst*}, zwar ohne ein Verfahren anzu- 

 geben, für 



Log(x -|- n) -h Log(x -h 3n) + Log(x -f 5n) -|- 



-}- Log(z — 3n) + Log(z — n) = 

 die Differenz der beiden Reihen von natürlichen Logaritiimen : 

 zLogz z n 7n^ 'dlxv' • • f 



~"2n 2ir "~ T2z" "*" "36Ö? 1260z^ — '" '" * 



xLogx \ '^ l_ '^"^ ^^"^ _4_ • f 



^2n 2n " 127 ' ^6ÖP i260x'' — '" "^ ' 



Um die Richtigkeit seines Satzes zu beweisen, erhärtet dann 

 Stirling denselben für den Spezialfall x = z — 2n. Handelt es sich 

 aber um den Logarithmus des Produktes 1. 2. 3 , so 



wird, da n ^ ^ und x = -— ist, 



*■) Jedenfalls iliircli Kiitw ifkliing der einzelnen J>op;aritlnnen. 



