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Als zweiten analytischen Fundanienlalsatz gibt Moivre folgenden*): 

 Der LoydritliniHf! di's Vi'iliilltnissrit, irclclics der Coef/izicnt des mitt- 

 leren Termes einer hinomiselien Entwicklung lon sehr hoher Potenz n 

 in Bezug auf den Coeffizienten irgend eines um das Intervall l ron 

 ihm entfernten Termes hat. wird in erster Näherung durch folgende 

 Grösse ausgedrückt : 



(m -I- 1 - -^^LogOn 4- 1 -1) I- (m - 1 + ,^^Log(m + 1-1) 



— 2mLügm Log * — < 



m 



vorausgesetzt, dass m = -^ gesetzt wird. 



o 



Sein Lüsungsverfahren für dieses Resultat ist ein analoges wie 

 beim Coeffizientenproblem, geht also aus von logarithmischen Reihen 

 (v. Miscell. analyt. p. 128 ff.) und es braucht daher hier nicht wieder- 

 holt zu werden. 



Moivre zieht dann weiter aus dem angeführten Satze die fol- 

 genden hier skizziilen Schlüsse in Form von Zusätzen. 



Zusatz 1. Wenn m = —- eine unendliche Grösse be- 

 deutet, so ist der Logarithmus des Verhältnisses, welches ein Term 

 (^imnier in der Entwicklung (1 -\~ l)"") der vom mittleren Term um 



2 1'^ 

 das Intercall l entfernt ist, zum letzteren hat, qleich — -- — 

 ' -^ n 



2 1"' 



Zusatz 2. Die Zahl, deren hyperbolischer Logarithmus , 



■= m 



ist gleich der Reihe 



21- , 41* 81« , 161« 32P'» , . . , 



' - IT <- ^n-^ - 6n^ + "24^ " l2Öi^ ± . . . . m ,nf. 

 woraus folgt**), dass <lie Summe der Terme vom grässten an bis und 

 mit jenem, der um l Glieder entfernt ist, gleich ist: 



_2 ( 2P 4F 8r 161^ . . \ 



\/2n7r I 1 . 3n f" 2 . bn' 6 . In' "^ 24 . 9n* + • • ' '" '"'j 



Setzt man nun 1 = s \,'^n, alsdann wird die Summe: 

 2 ( 2s^ , 4s-^ 8s' , 16s^ . . J 



*) Loc. cit. {). 2:}^. 

 **) Moivre gibt keine weitere Begriiiidung dii'ser Folgerunji. 



