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19. .1. Todhunler hält Moivre neben Laplace für den grössten 

 Analytiker in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wenn er sagt*): «/t 

 will not he doubied that the theorie of ProhnhUitij owns more to him 

 tlian to am/ otlier mathematician. ivilli tlie sole exception of Laplace.* 



Pflichtet man diesem Urtheil ohne Einschränkung bei. so muss 

 insbesondere noch hervorgehoben nerdeii, dass kein Mathematiker um 

 die analytische Darstelluug des Bernoulli' sehen Theorems grössere Ver- 

 dienste hat als Moivre. Nicht von vorneherein von einer so hohen 

 philosophischen Warte ausschauend wie Jakob Bernoulli und sich dem- 

 nach nicht weiter über die Wahrscheinlichkeit a posteriori verbreitend, 

 schenkte Moivre der mathematischen Analyse des Problems sein Haupt- 

 interesse, und erfolgreich hat er die heutigen Methoden und Resul- 

 tate der analytischen Darstellung desselben im Prinzip gegeben. 



Es gelang Moivre nicht nur, mit Stirlings Hülfe einen leicht 

 zu berechnenden Ausdruck für die Fakultät zu finden, sondern er hat 

 auch schon als Summe von Termen einer binomischen Entivicklung 

 innerhalb gewisser Grenzen den Laplace sehen Integralausdruck gegeben. 



Denn : 



Bezeichnet M das Mittelglied der Entwicklung von (1 -f- Ij", 

 Ml das um ein Intervall von 1 Gliedern entfernte Glied, so wird nach 

 Moivre (v. Zusatz 2)**) : 



,, Ml JJ"- , 212 412 816 



^ M n ' 2n- ' 6n^ — 



Wie nun Moivre die Summe der Terme zwischen M und Mi 

 gefunden, sagt er nirgends; es lässt sich aber annehmen, dass er die 

 Ausdrücke der linken Seite der folgenden Gleichung in Exponential- 

 reihen entwickelt und summirt hat : 



Ml , Mm , Ml , M -21= , -sfiar 



A ~ A- . . . — ^^^ -4- ^= e n -U e « 



M ^ M ' M ' M ^ 



1 2(12)^ 1,0 



woraus sich ergibt 



Ml -f- ^^^1-1 +...•+ Ml -|- M = M. [Summe der Exponentialr.] 

 Moivre erhält dann, indem er noch durch die Summe der ganzen 

 Entwicklung dividirt den Ausdruck : 



2 ( 21^ 41'^ 81^ 16P . . 1 



\l2n7c\ 1 . 3n + 2 . 5n- 6 . 7n^ "^ 24 . 9n^ + •••'">" •[• 



*) Todhunter, History of Iho Prob. p. 193. 

 **) Boi (Ion Iblgendon Hinweisen auf Zusätze sind immer diejenigen in 

 Moivre's Abhandlunf; gemeint. 



