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VI. 



20. Zeigte sich im lelzlen Abschnitt dio Unzulänglichkeit des 

 Moivre'schen Verfahrens lür die Ueberführnng einer nach endlichen 

 Incremenlen fortschreitenden Summe zum Integral, so geht hinwieder 

 aus den Ahschnitten 111 und IV hervor, dass die Summationsformeln 

 von Rloivre und Stirling zur angenäherten Bestimmung eines Werlhes 

 für Log 1\\ -j- 1) mehr empirischer Natur waren und daher der 

 Allgemeingültigkeit ermangelten. Aber bis um die Mitte des vorigen 

 Jahrhunderts hatte sich die Analysis schon bedeutend entwickelt, und 

 es musste sich in der Heihenlheorie selbst das Bedürfniss nach allge- 

 meinen Summationsformeln geltend machen. 



Maclaurin*) war der erste, der auf Grund der von J\'eivton begrün- 

 deten mechanischen Quadratur eine allgemeinere Sumuiationsformel 

 für Reihen mit endlichen Differenzen aufstellte. Er betrachtet**) eine 

 parabolische Gurve von der Gleichung : 



y = A -f Bz -f G/;- -f Dz^' -f , 



oder wenn a die Anfangsordinate bezeichnet, 



^ ^ ^ "^ dz ' 2 ! dz- ' 3 ! dz'' ^ 



Maclaurin setzt nun dz = 1 und bezeichnet mit A. B, G, D, . . . . 

 die Flächen, deren gemeinsame Basis gleich dz und deren Ordinalen 

 respective y, dy, d'^y. d^y sind und findet für 



^=^ + lT + "3T" + ~Tr+ 



dann wird 



da d-a d^a 



^^^ ~^\ 3i r\ 



Werden nun auf analoge Weise da, d-a, d^a, d^a 



bestimmt, wie z. B. 



d'^a d^a d^a 

 "» = '^ - -2l 3-! IT- 



SO ergibt sich schliesslich durch Substitution: 



IL _L J^ 'L- I G zr 



^ 2 "^ 12 720 f" 30240 '^ 



oder allgemein : 



*) Colin Maclaurin. gci)oren zu Killnoildon in Sfliottland im Jalirc 1698, 

 war Professor der Mathematik zu Abordeen und K(linbiirji:li. Er starb 174G. 

 **) Trealise of Fliixions (I^dinliiiri,^!! 174-'j art. 83U. a. ts. 



