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Nun ist nach der Formel von Wallis : 

 2. 2. 4. 4. 6. G i2x— 2i2x 



(für X = oo) 



2 1.3.3.5.5.7 (2x— l)^2x— 1) 



somit 



Log ;t — Log 2 = 2 Log 2 + 2 Log 4 -f- 2 Log 6 + . . . . -|- Lt'g 2x 



— 2 Log 1 — 2 Log 3 — 2 Log 5 



Weil aber für lim x =: c>o : 



:^ Log X = G -|- (x -|- '-A Log X— \ 



XM ^ 



^S Log X = C + (2x — |) Log 2 X - 2 X 



'2' Log 2x = C + (X +i) Log X + X Log 2 — x, 



x;i ^ 



SO folgt aus den beiden letzten Gleichungen: 



Log 1 -(-Log 3+ Log 5 -f . . . Log^2x -1)== x Log x + (x -f- |) Log2— x, 

 also für lim x = c>o : 



Log I = 2 C -f i2 X + 1) Log x 4- 2 X Log 2 — Log2 — Log x — 2 x 

 — 2 X Log \ - (2 X -f- 1) Log 2 -f 2 X 

 Log 1=3 2 C — 2 Log 2. C = ^ Log 2 rt.. 

 Es ergibt sich somit für 



x=l 



lim X =oo X ! = V 2^ 4- x.^+Te'^ . 

 23. Die Summalionsformel von Euler und JMaclaurin ist aber nicht 

 nur geeignet für die Darstellung eines Xäherungsworthes für Logr(x-f"l)> 

 «ondern auch znechmiissUj zur Summa tion der hiuomisciten Terme in 

 derjenigen Form, in der sie nach Anwendung der sog. Stirling'schen 

 Formel bei der Darstellung des BernouUi'schen Theorems erscheinen, 

 und in der That ist seit Laplace, der jene Formel von Euler und 

 Maclaurin zuerst für den bezeichneten Zweck verwendete*), kein an- 

 deres Summationsverfahren gefunden worden. Jene Formel ersetzt 

 somit in hinreichender Weise die mühsamen empirischen Methoden 

 Moirre's zur Ermittlung eines Näherungsuerthes für den liernoulli- 

 schen Summenausdrucl,-. 



*) S. Note 1 im Aiiliaiu 



