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Der geniale Laplace hat zum ersten Male mittelst seiner 

 «fonclions generatrices- eine noch allgemeinere Methode angegeben, 

 um einen Nähern ngswerth für Log r(\ -\~ 1) zu erhalten, nach welcher 

 aiiiii die Constante ohne Benutzung der Wallisischen Formel direct 

 aus der Entwicklung hervorgeht*); er iiat- auch, nach dem Yorgange^ 

 von Lagrange, die Euler-Maclaurin'sche Summationsformel auf anderem 

 Wege gefunden. Aber Laplace räumt seinen «fonctions generatrices»- 

 gewiss einen zu grossen Einfluss auf die Darstellung des Bernoulli- 

 schen Theorems ein, wenn er schreibt**): <Le calcul des fonctions- 

 generatrices, appliquö ä cet objet. non seulement demontre avec facilite^ 

 ce theoreme, mais de plus il donne la probabilite que le rapport des 

 evenemens observes ne s'öcarle que dans certaines limites du vrai 

 rapport de leurs possibilitös respeclives» ; denn alle diese Consequenzeii 

 sind in geni^igend aligemeiner Weise schon mit Hülfe der Formel 

 von Euler und Maclaurin zu ziehen. Schon vor Laplace, um die Mitte 

 des vorigen Jahrhunderts, wäre es möglich gewesen, dem BernoulÜ- 

 schen Theorem diejenige analytische Form zu geben, die es heute 

 besitzt. Der Grund, warum es nicht geschehen, liegt darin, dass sich 

 von Moivre bis auf Laplace kein Mathematiker in productiver Weise- 

 auf diesem Gebiete bethätigte. 



* * 



24. Die Ergebnisse des historischen Theiles dieser Arbeit, der 

 die Entwicklungsgeschichte des Bernoulli'schen Summenausdruckes zum 

 Laplace'schen Integralausdruck geben sollte, fassen wir folgendermassen 

 zusammen : 



1. Jakob Benioalli I. hat nicht rcrsuclit, einen Näherungs- 

 wert li für 



m = /U^ + l 



^ p q 



2 



m! n! 



m =r- /<p — 1 



zu geben. Weil er das nach ihm benannte Theorem nur als Hülfs- 

 satz seiner Theorie der Wahrscheinlichkeit a posteriori betrachtete, ge- 

 nügte ihm der ganz allgemein gegebene Nachneis, dass mit der Ver- 

 mehrung der Beobachtungen auch die Wahrscheinlichkeit immer grösser 

 wird, dass die Erfahrungsirahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich 

 seiner absoluten wird. 



*) Vgl. ]Sole 4 im Anliarig. 

 **) Essai philosOi)hi(iue siir Ics prol)abilites p. T^. Tlu'oiio anal, des i)robal)., 

 liilnHluction p. XLVIII. 



