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'j. Abraham de Moirre rjah im Prinzii) die La/ilaresclie Analyse 

 lies Beiiwulli' sehen Theorems. Er fand nieht mir yd'herungsirerthe für 

 den Binomialcoefßzienten und für r(r), sondern ijah auch das Lapluce- 

 sche Interjral als Sun)me des BernouUi' sehen Ausdrucks in der Form ron 



2(P f q) r\ 



p-l-q ^.,, 

 -pq,"' d.\. 



3. James Stirling hat, auf Anregnnij Moirre' s. den eyklometri- 

 sehen Charakter der den Nähei'unnsuerth für r{nr) und das Laplace- 

 sche Integral begleitenden Constanten erkannt. 



4. Aber erst der Summationsformel, icelehe ron Mariaurin, dann 

 von Euler gefunden worden ist. verdankt das Bernoulli'schc Theorem 

 die allgemeine Entwicklung jener exakten analytischen Form, die ihm von 

 Laplace gegeben wurde. 



VII. 



25. Der jetzt folgende Abschnitt gibt eine Verallgemeinerung der 

 Serret' sehen Ableitung der Stirling' sehen Formel. 



Die ersten Darsteller dieser Formel benutzten zur Bestimmung 

 der Constanten die Formel von Wallis. Nun hat J. A. Serret in einem 



JMemoiro sur l'evaluation approchee du prodiiit 1.2.8 x, lors- 



que X est nn Ires grand nombre, et sur la formule de Stirling*) auf 

 elegante Weise gezeigt, dass die Formel von Wallis zur Ableitung 

 tlerjenigen von Stirling vollkommen hinreichend ist. Er sagt darüber 



«inleitend: " Or, cette simple formule de Wallis suffit. ä eile 



^'seule, pour etablir completement celle de Stirling et la döduction est 

 «si facile que la deuxieme formule peut etre regardee avec raison comme 

 "une Iransformee de la premiere.» Serret's Darstellung ist die folgende: 



Die Formel von Wallis ist: 

 yr 2.2.4.4.6.6 (2 x - 2) (2 x - 2) 2x 



2 1.3.3.5.5.7 2 (X - 3) (2 X - 1) (2 \ - 1) 



und sie nimmt die sehr einfache Form**) an : 



(fiirx=oo) 



*) Coinptos rendus iK-ltdoniadairi's dos seaiu'os de fAcadeinie di'S scieiu-es, 

 -anndi" 18(J0, t. 1. p. 16G2. 



**) Die Traihsformation ergibt zunächst : 



2 [(x-l)!]*2«^^ -).2x_ 1 Cx !)^ 2^- 

 '"W-TT [(2.K-1J!]» '" nx [(2x)!r^ ' 



'dann nach einfacher Unifonnung 



S(x) 



r x! y r C2x!) T_ [^ix)Y 



[ x^ V STf-v J L (2x)2n 4.7X J f(2x) 



