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Dividirl man nun (lleicluing 1) durch 4) so kommt: 



^^^\) = 1 (für X = oo) 



d. h. naoli Formel 2) : 



1 . 2 . 3 . . . X = \l27c e"-^ x'' ^""2 (1 + £^), 

 Nvo tx eine Grösse isl, die für x = oo zu wird. 



2G. Ist nun diese v«m Serret gegebene Darstellung eines Näherungs- 

 Nvertlies für 1\\ -|- 1) auch die einfachste und eleganteste, die je ge- 

 geben wurde, so erscheint sie doch einer Verallgemeinerung fähig zu 

 sein. Wenn man die von Serret gefundene Funktion mit S(x) be- 

 zeichnet, so ergibt sich aus der Formel von Wallis für 



lim r ^! TT (2^)! T , 



oder wenn man den Ausdruck 



x! 



x"\/27^ 

 mit ^-(x) bezeichnet, so wird 



n "™ s(v) = ^ = 1. 



X ^oc 9'(2x) 



Serret setzt aber die Funktion 

 x! 



^{^)- 



\''\l2^ e 



Diese Erweiterung von S(x) mit e^-^ ist in der That beim Ge- 

 danken an den Stirhng'schen Näherungswerth für x! sehr nahehegend. 



Aber im allgemeineren Falle muss jene Exponentiiügrösse erst 

 (III Verlaufe der Entwicklung als gewisse Bedingung sich darstellen, 

 wie im Folgenden gezeigt werden soll. 



Es sei also 



x''\/27rx 



lim o, . _ .£!00 _ ^ 



x = oo ^^'^ - ^(2x) ~ ^• 

 Wie finden wir hieraus einen Werlh für x ! i OITenbar, wenn 

 es gelingt, nachzuweisen, unter welcher Bedingung 



lim <pOi) ^ ^ j^^^ ,)pj^„ alsdann wird 



X = oo ^';(2x) 



lim <pi2x) ^, _ ^ \ _ '^ 



x==oo if{\) ^'' x*\/27rx 



V^(2x) 



