— 175 — 



Dieser neue Aiisdnirk ciieiclilert nicht nur die seiir zahlreichen 

 Iheorelischen und praktischen Anwendungen des BernouUi'sclien Theo- 

 rems, sondern erni()glicht auch genauere ResuUate, und ich behalte mir 

 vor, gelegentlich einige dieser Consequenzen zu ziehen. 



Anhang. 



Note 1. Laplace gibt folgende Darstellung des Bernoulli'schen 

 Theorems*) : Seien p und q resp. die einfachen Wahrscheinlichkeiten der 

 Ereignisse E und E', dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass in m -f- n 

 = LI Versuchen das Ereigniss E m mal, E, n mal eintreffe, gleich dem 

 (m + 1)*^" Terme in der Entwicklung von (p -|- q)'" , nämlich gleich 



L.2.3. ...u ^m^^n 



1.2.;} in 1 . 2 . 3 . . . n 



Bezeichnen wir den grössten Term in dieser Entwicklung mit M, 



so wird sein ihm vorangehender gleich • — 37—:-, sein nachfolgender 



gleich — - • ^-r- sein. Damit aber M der grösste Term ist, muss 



gelten 



m ^ p m-|-l 



— TT <- ~ '^ 



n-j-1 q 11 



und hieraus folgt, dass 



f." 4-1) p — 1 < m< (»+1) p 

 oder in = f/'+l) p — (J, "'O ff < 1, ist. 



Nun wird 



m-fff ^ n-j-1 — ff p in-f(T 



1) = —5 = 1 D= — ) — = ■ > 



und sind m und n sehr grosse Zahlen, so gilt die Relation 



p _ m 



q~ n ' 

 d. h. das Eintreffen deijenif/en Comhination 'der Ereignisse E und E' hat 

 ein Maximum von Wahrscheinlichkeit, die unter der Relation p:q = ni:n 

 steht. 



*) Theorie analytiquc des probabilites (3. ed. Paris 1820) Liv. H, Chap. II, 

 p. 280 e. 1. s. 



