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N 1 e 2. In Propos. XXI 'niterpoUrt SUrling die FakuUäten- 



relhe 1, 1, 1.2, 1.2.3, 1.2.3.4, 



und zwar speciell das zivischen 1 und 1 liegende Glied. 



Wegen der stark vorhandenen Divergenz der Differenzen der Reihe 

 interpolirt er deren Logarithmenreihe, sucht zunäclist den Logarithmenteriii 

 zwischen 10! und 11! und lindet*) dafür 7.0 755259 569 dem als Numerus 

 11899423.08 entspricht. In Propos. XVI hat Stirling aber zugleich 

 gezeigt, dass, wenn die intermediären Glieder der obigen Fakultäten- 

 reihe mit a, b, c, d, bezeichnet werden, die Relationen bestehen: 



3 5 7 

 b = -^ a, c = -^ b, d = — c Indem er nun das 



19 19 17 3 



Glied zwischen 10! und 11! successivo durch -^ , -^, -j— , -^ 



dividirt, erhält er für das gesuchte intermediäre Glied die Zahl 

 0.8862269251. Das Quadrat dieses Werthes ist gleich der Fläche des 



Kreises vom Durchmesser 1, also wird das Glied selber gleich -^ y >t 



sein. Ebenso folgt hieraus, dass dasjenige intermediäre Glied, das dem 



ersten vorausgeht, gleich \J ^ sein wird. 



Stirling findet also durch äusserst mühsame numerische Berechnung 

 folgende Reultate; 



r{j) = 0.8862269251 = 4 \/ '^ 



Dieses letzte Resultat benutzt Stirling bei der ersten Lösungsmethode 

 des Coefftzientenproblems in Propos. XXII, die im wesentlichen darin be- 



*J Mit Hülfe der Iiiterpolationsformel (T = allgemeines Glied) 

 _ A -}- az 3B + bz z"— 1 5C -f- cz (z^— 1)(2^— 9) 

 ~ 2 "•" 2 4.6"^ 2 4. 6. 8. 10"^ 



Die Formel gilt allgemein (auch für die intermediären Glieder) einer Reihe 

 mit 2 Mittelgliedern, von der Form 



3A lA Ai A3 



wenn die 1. Differenzen 2a a a4 



die 2. >> ,B B. 



die 3. « I» 



wenn man ferner A = ,A -f A,, B = ,B -f B,, C = ,C -f C, setzt 



und mit z das Verhältniss bezeicimct, welches die Entfernung des zu interpoliren- 

 den Gliedes T von der Mitte zum constanten Intervall der Variabelen hat. Stir- 

 ling gibt diese Formel in Propos, XX. deutet aber nur an, er sei mit Hülfe der 

 Differenzenrechnung auf dieselbe gekommen. 



