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wo Vx so beschafFen ist, dass man Ux daraus durch Mul- 

 tiplication mit einer endlichen Grösse >0 erhält; und 

 ebenso mit 



3) 2'u« = Uoe+ Uß+ Uy+ . . . in Inf., 

 wo «<l</3<2<;^<3 



Dieses vorausgesetzt, sei m eine beliebige ganze 

 Zahl, so wird gleichzeitige Convergenz oder Divergenz 

 stattfinden mit 



2'm^ u^x = mu^H- m2u^2 + m^u^^a + . . . in inf. 



die wegen 3) auch noch gelten wird, wenn m überhaupt 

 eine positive Zahl >> 1 ist; also auch mit 



4) 2'e* Ugx = eug + e2ug2 + e^u^a -f . • • in inf. 



In ähnlicher Weise wird auch gezeigt, dass diess 

 geschieht mit der Reihe 2 jx" — (x — 1)" j u ^j, oder mit 



5) 2'x«-^u^a = l"-^Uia+.2"-^U2a + . . . in inf., 



wo a eine beliebige positive Zahl >> 1. 



Mit Hülfe von 3), 4) und 5) können aus Ux alle Lo- 

 garithmen und gebrochenen Exponenten von x wegge- 

 schafit werden. Diesem nach kann die Reihe 1) zur Be- 

 urtheilung ihrer Convergenz immer so reduzirt werden, 

 dass alle ihre Glieder positiv sind, in's Unendliche ab- 

 nehmen, und von allen endlich bleibenden Faktoren , wor- 

 unter auch die periodisch wiederkehrenden, wie Sin. ax, 

 Cos. ax verstanden werden, befreit sind. Alsdann folgt, 

 dass 1) und 2) simultan convergiren und divergiren, so- 

 bald 



6) Lim. Ux = Lim. Ux , x = k , 



wobei k hier, wie im folgenden, immer eine unendlich 

 wachsende positive Zahl vorstellen soll. 



