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Man wird nach einer kurzen Betrachtung mit Hülfe 

 von 20) und 21) finden, dass die gleiche Convergenz- und 

 Divergenzbedingung auch bezüglich der Keihe 2'JS'u gel- 

 ten wird , sobald auf die unendlichen Grenzen von x und y 

 übergegangen wird. 



Ist also die Doppelreihe ^^u,, y vorgelegt, 

 80 setze man 



— IjkkMklk' l.ukl.ak' . Uk,k'j __ 



^^) U+2k + Wk' - '' 



und dann ist 



Convergenz, 

 wenn <? > 1, 



Divergenz, 



ersteres unter der Voraussetzung, dass keine der 

 Eeihen 



2' u,, q und ^ Up, y 



divergirt. Man wird bei // ==: — 1 anfangen, und nach 

 und nach, wenn £ =: 1 ist, die Werthe ^ m: 0, 1 , 2, . . . . 

 setzen, bis einmal s entschieden > 1 oder <^ 1 wird. 

 Diesem Satz kann eine bequemere Form gegeben wer- 

 den. Setzt man nämlich k' := mk, wo m eine beliebige 

 positive Zahl vorstellt, so geht 25) über in 



— Ijklk \uk.\/V^\ _ 



Vergleicht man diess mit 12), so erhält man den Satz: 

 Die Doppelreihe ^^u^.y convergirt, wenn die 

 einfachen Reihen 



p,j ' ^ t ^ ^ x,inx 



sämmtlich convergiren; im entgegengesetzten 

 Fall divergirt sie. 



