— 71 - 



8) Merkwürdige Punkte der Curve. Erstens: der 

 Pol oder Doppelpunkt P. Zweitens: das Maximum vom 

 Radius-Vector Qz=2r (1 -\- Cos. S) ist auf der Richtung PM 

 oder der angenommenen Axe, wo Cos. (5i=:l oder (5 = 0; 

 und () = 4r = PM; also M der höchste Curvenpunkt. Drit- 

 tens : Curvenpunkt Q auf der verlängerten Chordale PD 

 der beiden Kreise^ welclie mit der Polaraxe PM den Win- 

 kel MPD = « — /j = 7 bildet, welcher in die Curvenglei- 

 chung gesetzt gibt ()=PQ=2r (IH- Cos.;) r=iPM+^PM 

 Cos. ;v, d. h. man trage auf der Richtung PD zuerst auf 

 die Hälfte der Polaraxe PM, und dazu noch die Projektion 

 dieser Hälfte auf PD. Viertens: Einschnittspunkte unse- 

 rer Curve in die gegebenen Kreise F und G. Diese Punkte 

 sind eben so leicht gefunden. Man ziehe nämlich an beide 

 Kreise Tangenten zum Durchschnittspunkte D, so spielt 

 jede eine doppelte Rolle, nämlich sowohl als gemeinsame 

 Sehne beider Kreise, wie auch als Tangente; der Punkt, 

 wo jede dieser Tangenten die andere Kreisperipherie 

 schneidet, zu der sie nicht Tangente ist, der Punkt ist 

 ein Einschnittspunkt unserer Curve in den geschnittenen 

 Kreis, in unserer Figur die Punkte X und Y und die 

 Tangenten DX und DY. 



9) Strenger analytischer Beweis der Behauptung, dass 

 in unserer Curve der Winkel zwischen Radius-Vector und 

 Normale halb so gross, als der Winkel zwischen Radius- 

 Vector und Polaraxe, oder dass die Curve dieser Eigen- 

 schaft die Cardioide ist, und daher in unserer Figur CK 

 wirklich, wie oben behauptet, der Durchmesser eines Be- 

 rührungskreises oder die Normale der Curve. Es sei also 

 in unserer Figur, abgesehen von der obigen Entwicklung, 

 PM die Polaraxe und zugleich die X-Axe rechtwinkliger 

 Coordinaten, P der Anfangspunkt, PC ein beliebiger Ra- 

 dius-Vector, Q und CPM = S der Coordinatenwinkel, 



