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Wio Neunianii in seiner vorlrefnichen Arbeit « Tlienrio der 

 IJessersclien Funktionen'^), Ein Aualogon zur Theorie der KiigclfiiMk- 

 lionen», II. Abschnill, pag. 24 n. IT., gezeigt hat, Icässt sich nämlich 

 jede gegebene Funktion, die bezüglich ihrer Stetigkeil \\\u\ iMudeu- 

 tigkeit gewissen Bedingungen entspricht, stets in eine nach den J" (\) 

 fortschreitende Reihe entwickeln oder auch in eine Doppelreihe, welche 

 nach den .1" (x) und 0" (\) fortschreitet. 



Neumann ist zu dem obigen Salz mit Hülfe der bekannten Me- 

 Ihüde von {]auchy gelangt und hat in i^ 7 und i^ 12 des genannten 



Werkes den Ausdruck in eine Reihe von folgender Form enl- 



wickelt: 



-i- = J« ( y) 0" (x) -[- 2 2 J" (y) 0" (\). 



11=1 

 Die Entwicklung ist dabei nur so lange gültig, als niod. \ >- 

 niod. y ist. Die Funktionen 0" (\) sind keineswegs komplementär zu 

 den J"(\). sondern sie genügen einer andern DilTerentialgleichung. 

 Sie stehen aber nach dem obigen Satze zu den Funktionen J" (\) in 

 ähnlicher Beziehung, wie die Kugelfunkli<men 11"^' Art zu denen P''' Art, 

 und aus diesem Grunde hat sie C. Neumann Be.ssel'sche Funktionen 

 II''' Art Kcnannl, 



1. Definition der Besserschen Funktion IT' Art durch 

 eine Sumnienformel. 



Die Neumann'sche Funklion 0" (\) ist definiert durch folgende 

 Summenformel : ^) 



Es ist also eine ganze rationale Funklion vom (n l-l)'*'" Grade in 



X 



Sie verschwindet füi- \ = oo. Die Reihe bricht von selber ab. und 



') Leipzig. Toulmor, 18(57. 



*) \j. Scliliifli, lAFutlieiii. Aniiaion liJ, Seile i;-57. -- Veriil. L. Crclier: Sin- 

 (]ii('l(|H('S pi'oprieles des fonelious Besseiieiiiies, lirees de l;i "TliL'orie des fractioiis 

 (■oiiliiiues». These de doclorat. Annali di Maleiiiatica XXI\'. Mailand 189(j. 



