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mein Gültigkeit. Diese Formeln stimmen vollständig überein mit denen 

 von C. Neiimann,^^) die ich Seile 35 schon zitiert habe. 



Die Koeffizienten kann man in 2 Teile zerlegen. So ist z. B. 

 in der Entwicklung für U(x): 



2 ~ 2 ^ ' 6 "" 6 ^ 6 ' 12 — 12 ^ 12 ' ^ ^• 

 Man kann daher schreiben : 



-T^'w. 



Nach der Relation J"(x) = (—1)" J~"(x) ist aber 



= — J~^(x) , etc., 

 daher : 4 



U^x) = J\x)- Ax)-f 1 Ax)--i- J'(x) H 



+ i ^"'^'^ - Y •'^'^^^ + T •'"'^''^ "" + ••• 

 Oder als Summenformel geschrieben: 



A^oo A=c>o 



ü>(x)=j'(x)+2 t(-i'' ^'^''+ 2 ^- J'"'- (80) 



Da die vorige Entwicklung allgemein gilt, so hat auch diese all- 

 gemeine Gültigkeit; daher: 



A=n A=:C>o A==c«o 



U"(x) = 2 J"(x) + 2 -^- J°+^^^)+ 2 -^'^J""^»)- (81) 



In dieser Form ist die Entwicklung zuerst von L. Schläfli^") für 

 die E-Funktion aufgestellt worden. 



Er ist dabei nicht auf diesem induktivem Wege vorgegangen, 

 sondern benutzte die Differentialgleichung als Ausgangspunkt. 



Nach Gleichung (66) gilt: 



x'^^-fß + X ^ö"(x) + (x^-n^) l]\x) = - 2x r+\x). 



") C. Neumann, Bessel'sclK' l'iinktionen, Solle 52. 

 80) L. Schläfli, Mathcm. Aiinalou III, Seite 14G. 



