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Dr. G. Sidler. 



Zur kubischen Gleichung. 



(Vorgetragen den 12. Kovembcr 1898.) 



Von der kubischen Gleichung 



x-^-f-Spx-f 2q = (1.) 



habe man, z. B. miltelst der Regula falsi, eine Wurzel x = « erhalten, 

 so genügen die zwei andern Wurzeln ß und ;- den Relationen 



2q 



ß -\~ Y = — a . ß y 



a 



Es sind also ß und y die Wurzeln der Gleichung 



z^ + a z - ^ ^ 0, 

 a 



und wir finden 



r\ 2 2 V 'X 



8q 



Aber a^ -j- 3 p a -f' '^ "^1 =^ Ö- ^'S'> 8 q = — 4 «^ — 12 p u, und 

 wir haben auch 



Es seien p und q reell, so können wir auch a stets als reell 

 voraussetzen. Dann wissen wir aber durch die Cardanische Formel, 

 dass ß und ;' reell oder complex conjugiert sind, je nachdem q"'^ -|- p^ 

 negativ oder positiv ist. Vergleichen wir damit den Ausdruck 2), so 

 muss a^ -j- 4 P gleiches Zeichen haben wie q- -\- p*. 

 Um dies zu zeigen, schreiben wir 



«2 -f- 4 p = £. 

 Nun ist «^ -f 3 p « -f- 2 q == 0, d. h, « . £ — p « + 2 q = oder 



^.^ 2q 

 e — p 

 Diesen Ausdruck für a setzen wir in «- + 4 p = £ ein, und er- 

 hallen so 



Bern. Mitlcil. 1,S9S. Nr. 1458. 



